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Mathematischer
Hintergrund
zur Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Aufgabe 1.4




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1.4 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
  1_4
  a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.
  b) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge.
  c) Machen Sie eine Aussage über den Verlauf des Graphen.
  d) Machen Sie eine Aussage zur Symmetrie.
  e) Berechnen Sie die Extrempunkte.
  f) Berechnen Sie den Wendepunkt und die Gleichung der Wendetangente.
  g) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte.
  h) Zeichnen Sie den Graphen von f(x) und den der Wendetangente in ein geeignetes Koordinatensystem.
  i) Bestimmen Sie aus der Grafik das Krümmungs- und Monotonieverhalten.
  j) Bestimmen Sie die Randpunkte des Definitionsbereichs.
  Ergebnisse
  a) Funktionsgleichung:
1_4a_e
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
b) Maximale Definitionsmenge von:
1_4b_e
  c) Verlauf des Graphen von III nach I d) Symmetrie: keine
  e) Extrempunkte:
1_4e_e
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  f) Wendepunkt und Wendetangente:
1_4f_e
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  g) Achsenschnittpunkte:
1_4g_e
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  h) Der Graph:
1_4h_mc_e
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  i) Krümmungs- und Monotonieverhalten:
1_4i_e
  j) Randpunkte des Definitionsbereichs:
1_4j_e
  Ausführliche Lösungen

1.4 Ausführliche Lösungen: ### In Vorbereitung ###
  a) Aufstellen der Funktionsgleichung aus den vorgegebenen Punkten.
xx
  b) Da ganzrationale Funktionen auf ganz IR definiert sind, ist die maximale Definitionsmenge von
xx
  c) Der Summand von f(x) mit der höchsten Potenz hat Einfluss auf den Verlauf des Graphen.
xxxxxxx
Das bedeutet, der Graph beginnt im 3. Quadranten und endet im 1. Quadranten. Für den Verlauf dazwischen, kann man zunächst noch keine Aussage treffen.
  d) Da die Summanden von f(x) sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzen, ist der Graph von f(x) weder punkt-, noch achsensymmetrisch.
  e) Extrempunkte:
xx
  f) Wendepunkt und Wendetangente:
xx
  g) Achsenschnittpunkte:
xx
  h) Tabelle aller bisher bekannten Werte:
xxxxxxx
Sollten zum Zeichnen des Graphen noch Werte fehlen, sind diese zu berechnen.
xx
  i) Aus dem Graphen lässt sich das Krümmungs- und Monotonieverhalten ablesen.
xx
  j) Randpunkte des Definitionsbereichs:
Zu untersuchen ist das Verhalten von f(x) für sehr große und sehr kleine x- Werte.
xx
Die Werte in den Klammerausdrücken streben für sehr große und für sehr kleine x- Werte gegen den Wert 1. Das hat zur Folge, dass der Term x3 den Verlauf des Graphen für große und kleine x- Werte näherungsweise bestimmt.