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Mathematischer
Hintergrund
Differenzialrechnung VIII




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Nr. 01 02 03 04

1. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 ME beschrieben durch K(x). Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE.
01
  a) Bestimmen Sie die Ableitung der Kostenfunktion (Differentialkostenfunktion oder Grenzkostenfunktion) und zeichnen Sie den Graphen. Beschreiben Sie den Graphen.
  b) Berechnen Sie die minimalen Differentialkosten.
  c) Beweisen Sie, dass die Differentialkosten für jede Ausbringungsmenge positiv sind.
  d) In welchem Bereich kann man mit Gewinn rechnen?
  e) In welchem Bereich nimmt der Gewinn zu?
  Ausführliche Lösung
  a) 01a_l
Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel.

Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten.
01a_mc_l
  b) 01b_l
  c) 01c_l
  d) 01d_l
  e) 01e_l
Die Graphen:
01_mc_l

2. Gegeben ist das Weg- Zeit- Diagramm s(t) eines bewegten Körpers.
  a) Interpretieren Sie diese Bewegung. 02_des
  b) Zeichnen Sie das dazugehörige Geschwindigkeits- Zeit- Diagramm, wenn gilt:
v(t) = s'(t).
  Ausführliche Lösung
  a) Von 0 bis 1 s :
Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit v = 2 m/s
Von 1 bis 2 s:
Stillstand v = 0 m/s
Von 2 bis 5 s:
Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit v = 1/3 m/s
b) 02a_des_l

3. Die Abbildung zeigt den Verlauf einer Bewegung im Weg- Zeit- Diagramm.
  a) Geben Sie ein Beispiel aus dem Alltag an, für das dieser Verlauf zutreffen könnte. Was bedeutet physikalisch der Kurvenverlauf für t > 3? 03_mc
  b) Das Weg - Zeit - Gesetz für diese Bewegung lautet:
03b
Bestimmen Sie a und v0.
  c) Zeichnen Sie das dazugehörige Geschwindigkeits- Zeit- Diagramm und interpretieren Sie dieses. Welche Bedeutung hat eine negative Geschwindigkeit?
  Ausführliche Lösung
  a) Ein Gegenstand wird senkrecht nach oben geworfen.Für t > 3 ist s < 0, d.h. der Gegenstand befindet sich unterhalb der Abwurfstelle.
  b) 03b_l
  c) 03c_l

Die Geschwindigkeit ist am Anfang positiv, d.h. der Körper bewegt sich nach oben.

Sie nimmt aber ab und ist bei t = 1,5 s null.
Der Körper hat da seine größte Höhe erreicht.

Dann ist die Geschwindigkeit negativ, der Körper fällt, er bewegt sich wieder nach unten.
03c_mc_l

4. Gegeben ist der Geschwindigkeitsverlauf einer Bewegung.

Interpretieren Sie dieses Diagramm.

Machen Sie Aussagen über einen möglichen Streckenverlauf.
04_des
  Ausführliche Lösung
  0 - 100 m: Die Geschwindigkeit nimmt zu.
100 - 150 m: Die Geschwindigkeit bleibt gleich: 40 km/h.
150 - 200 m: Die Geschwindigkeit nimmt ab.
250 - 300 m: Die Geschwindigkeit bleibt gleich: 15 km/h.
300 - 400 m: Die Geschwindigkeit nimmt zu.
ab 400 m: Die Geschwindigkeit bleibt konstant 40 km/h.

Erklärung:
Auf einer abfallenden Straße wird beschleunigt, die folgende Straße ist eben. Anschließend geht es steil bergauf, die Geschwindigkeit verringert sich bis auf 15 km/h. Danach folgt eine Talfahrt, bei der wieder Geschwindigkeit gewonnen wird, die Höchstgeschwindigkeit von 40 km/h kann danach gehalten werden auf der folgenden leicht abschüssigen Strecke.