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Mathematischer
Hintergrund
VBKA Ganzrationale Funktionen I
Ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

1. 01
  Ausführliche Lösung
  f(x) stellt eine ganzrationale Funktion n - ten Grades dar.
Der höchste Exponent n gibt den Grad der Funktion an.
01_l

2. Was wissen Sie über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen ?
  Ausführliche Lösung
  Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht.
021_l
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.
022_l

3. Machen Sie eine Aussage über die Symmetrieeigenschaft folgender Funktionenund begründen Sie Ihre Aussage.
  a) 03a b) 03b
  c) 03c d) 03d
  Ausführliche Lösung
  a) 03a_l
  b) 03b_l
  c) 03c_l
  d) 03d_l

4. Wodurch wird der Verlauf einer ganzrationalen Funktion bestimmt?
  Ausführliche Lösung
  Der Verlauf einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt, also durch anxn.

5. Wie verlaufen folgende Funktionsgraphen?
  a) 05a b) 05b
  c) 05c d) 05d
  Ausführliche Lösung
  a) 05a_l
  b) 05b_l
  c) 05c_l
  d) 05d_l

6. Was wissen Sie über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen?
  Ausführliche Lösung
  Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

7. Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen und stellen Sie die Funktionsgleichung als Produkt von Linearfaktoren dar. Welcher Art sind die Nullstellen (einfach, doppelt oder dreifach)
  a) 07a b) 07b
  Ausführliche Lösung
  a) 07a_l
  b) 07b_l

8. Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen. Machen Sie eine Aussage über den Verlauf des Graphen. Wohin streben die Funktionswerte für große, bzw. kleine x- Werte?
  a) 08a b) 08b
  Ausführliche Lösung
  a) 08a_l
  b) 08b_l

9. Berechnen Sie für f(x) nach dem Hornerschema die Wertetabelle, berechnen Sie die Nullstellen und zeichnen Sie den Graphen so genau wie möglich.
09
  Ausführliche Lösung
  09_1_mc_l 09_2_mc_l
  09_l

10. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch die Punkte
10
  a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
  b) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  c) Ermitteln Sie mit dem Hornerschema die Funktionswerte für
10c
  d) Tragen Sie alle bekannten Werte in eine Wertetabelle ein.
  e) Zeichnen Sie den Graphen 1 cm = 1 Einheit.
10e
  f) Machen Sie eine Aussage über den Verlauf des Graphen für große und kleine x- Werte.
  g) Machen Sie eine Symmetriebetrachtung. Begründen Sie Ihr Ergebnis.
  Ausführliche Lösung
  a) Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
10a1_l
  Lösung des Gleichungssystems mit dem Gauß- Algorithmus.
10a2_l
Bestimmen der Koeffizienten durch Rückwärtseinsetzen:

10a3_l
  b) 10b_l
  c) Ermitteln Sie mit dem Horner - Schema die Funktionswerte für
10c1_l
10c2_l
  d) 10d_l
  e) 10e_mc_l f) Der Graph verläuft von III nach I
  g) Keine Symmetrie, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen.

10g_l