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Mathematischer
Hintergrund
Text- und Anwendungsaufgaben zu ganzrationalen Funktionen I
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04

1. Ergebnis:
 
Grafik siehe ausführliche Lösung
  Ausführliche Lösung

2. Ergebnisse:
  a) Die maximale Höhe des Balls lässt sich aus der Grafik zu 3 m ablesen.
  b) Der Ball überfliegt die Abwehrmauer ( 2,573 m > 2 m ).
  c) Der Ball schlägt 18 m vom Abschusspunkt auf dem Boden auf.
  d) In einer Entfernung von etwa 15,65 m vom Abschusspunkt überfliegt der Ball die Torlinie in 2 m Höhe.
  Ausführliche Lösung

3. Ergebnisse:
  a) Die Randfunktion ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades weil sie zwei doppelte Nullstellen besitzt. (x1 = -4 ; x2 = 4)
  b) 03b_e
  c) Das Fenster kann höchstens 4 m breit sein.
  Ausführliche Lösung

4. Ergebnisse:
  a) 04a_e
  b) Die Dammkrone hat eine Breite von 80,25 m.
  Ausführliche Lösung

1. Bei der Herstellung einer Ware entstehen Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Stückzahl x 01
  Bestimmen Sie einen Funktionsterm für die Gesamtkostenfunktion K(x).
Wie ist der Verkaufspreis je Stück zu wählen, damit für x = 15 kein Verlust entsteht? Stellen Sie den Sachverhalt graphisch dar.
  Ausführliche Lösung
  Das Gleichungssystem:
011_l
  Der Gauß- Algorithmus:
012_l
  Die Koeffizienten und die Funktionsgleichung:
013_l
  014_l
  01_mc_l

2. Der Graph der Funktion f(x) ist näherungsweise die Flugkurve des Balls bei einem Freistoß in einem Fußballspiel.
02
02_mc
  a) Welche maximale Höhe erreicht der Ball?
  b) Überfliegt der Ball die Abwehrmauer (2 m hoch) in 9,15 m?
  c) Wo kommt der Ball wieder auf den Boden?
  d) Wie weit entfernt vom Tor wurde der Freistoß ausgeführt, wenn der Ball in 2 m Höhe die Torlinie überschreitet?
  Ausführliche Lösung
  a) Die maximale Höhe des Balls lässt sich aus der Grafik zu 3 m ablesen. Die Entfernung vom Abschusspunkt beträgt etwa 12 m. Eine exakte Berechnung ist erst mit Hilfe der Differentialrechnung möglich. Wir überprüfen die Abschätzung durch Rechnung. Dabei untersuchen wir die Funktionswerte in der Umgebung von x = 12.
02a_l
Wir könnten nun die Intervalle immer enger machen und würden dadurch dem Wert 3 immer näher kommen.
  b) Gesucht ist die Flugbahnhöhe in einem Abstand von 9,15 m vom Abschusspunkt, denn dort steht die Mauer der Abwehrspieler.
02b_l
Der Ball überfliegt die Abwehrmauer ( 2,573 m > 2 m ).
  c) Um den Auftreffpunkt des Balles zu bestimmen, sind die Nullstellen des Funktionsgraphen zu bestimmen.
02c_l
Der Ball schlägt 18 m vom Abschusspunkt auf dem Boden auf.
  d) Gesucht ist die Entfernung vom Abschusspunkt, in der der Ball eine Höhe von 2 m hat. Aus der Grafik lesen wir zwei Werte ab, sie liegen bei etwa 7,50 m und 16 m. Angesichts der Flugbahn des Balles untersuchen wir die Umgebung von 16 m.
02d_l
In einer Entfernung von etwa 15,65 m vom Abschusspunkt überfliegt der Ball die Torlinie in 2 m Höhe.

3. Die Abbildung zeigt den Giebel eines Barock- Hauses (Maße in m).
  a) Begründen Sie, dass es sich bei der Randfunktion um eine ganzrationale Funktion 4. Grades handelt. 03_mc
  b) Bestimmen Sie den Funktionsterm.
  c) Ein Fenster der Höhe 2,25 m soll in den Giebel eingepasst werden. Wie breit kann es höchstens sein?
  Ausführliche Lösung
  a) Die Randfunktion ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades weil sie zwei doppelte Nullstellen besitzt. (x1 = -4 ; x2 = 4)
  b) 03b_l
  c) 03c_l
03c_des_l

4. Die symmetrische Querschnittsfläche eines Gebirgstales lässt sich durch eine ganzrationale Funktion 4. Grades beschreiben. Das Tal hat eine maximale Breite von 120 m und ist 360 m tief. Bei einer Breite von 60 m wird von der Talsohle aus eine Höhe von 157,5 m gemessen.
  a) Bestimmen Sie den Funktionsterm. 04_mc
  b) Ein 250 m hoher Staudamm soll errichtet werden. Wie breit ist die Dammkrone? Berechnen Sie auf eine Dezimalstelle genau.
  Ausführliche Lösung
  a) 04a_l
  b) 04b_l
04b_des_l