Lösungen ganzrationale Funktionen Symmetrie und Verlauf

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben Ganzrationale Funktionen zur Symmetrie und Verlauf der Funktionen.

1.

Untersuche, ob f(x) eine ganzrationale Funktion ist! Gib gegenenfalls den Grad der Funktion und den Wert der Koeffizienten a0; a1; a2; … an!

Ergebnisse:
a) f(x) = 2  n = 0; a0 = 2
b) f(x) = 4x  n = 1; a1 = 4
c) f(x) = 2x   keine ganzrationale Funktion, sondern eine Exponentialfunktion
d) f(x) = \frac{x^3 - 4x}{8} =
\frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{2}x   n = 3;   a_3 = \frac{1}{8}  a_1 = \frac{1}{2}
e) f(x) = \sqrt{3x^4} \quad   n = 4;    a_4 = \sqrt3
f) f{x} = \frac{1}{x}   keine ganzrationale Funktion, sondern eine gebrochenrationale Funktion
g) f(x) = \sqrt{x}
Dies ist keine ganzrationale Funktion, weil es eine Wurzelfunktion ist.

h) f(x) = (x - \sqrt3)^2
= x^2 - 2 \cdot \sqrt3 x + 3 \\ n = 2;  a_2 = 1;   a_1 = - 2 \cdot \sqrt3;  a_0 = 3

i) f(x) = (x + \sqrt2)(x -\sqrt2) = x^2 - 2 
n = 2; a2 = 1;  a0 = -2

j) f(x) = 16x 3 – 2x2 + 5x2 – 4 = 16x^3 + 3x^2 – 4
n = 3;  a3 = 16;   a2 = 3;   a0 = -4

2.

Welche Graphen der folgenden ganzrationalen Funktionen sind achsen- bzw. punktsymmetrisch?

Ergebnisse
a) f(x) = x4 – 6x2 + 5   achsensymmetrisch, n gerade
b) f(x) = x3 + 3x + 1  keine Symmetrie
c) f(x) = (x – 2)(x + 2) = x2 – 4   achsensymmetrisch, n ist gerade
d) f(x) = x^6 - 6x^2 + \sqrt3    achsensymmetrisch, n ist gerade
e) f(x) = (x – 2)3 (x – 1) = x4 – 7x3 + 18x2 – 20x + 8   keine Symmetrie
f) f(x) = x^4 - \sqrt{5x^2}   achsensymmetrisch, n ist gerade
g) f(x) = (2x4 + 2x2 + 5) x = 2x5 + 2x3 + 5x  punktsymmetrisch, n ist ungerade
h) f(x) = (x2 – 2x + 3)(x + 1)(x – 1) = x4 – 2x3 + 2x2 + 2x – 3  keine Symmetrie
i) f(x) = 1 – 3x2 + x6 = x6 – 3x2 + 1  achsensymmetrisch, n ist gerade

3.

Bestimme die Variable c so, dass der Graph der Funktion punkt- bzw. achsensymmetrisch ist!

Ergebnisse:
a) f(x) = x3 + 4x + c   c = 0 für Punktsymmetrie
b) f(x) = (x – c)(x + 4)  = x2 + 4x – cx + 4c   c= 4 für Achsensymmetrie
c) f(x) = x5 + xc  c ungerade für Punktsymmetrie
d) f(x) = x3(x2 – cx)    c = 0 für Punktsymmetrie
e) f(x) = c + x  c = 0 für Punktsymmetrie
f) f(x) = 4x3 + x2 + cx2 + 5x    c = -1 für Punktsymmetrie

4.

Gib den Verlauf der Graphen folgender Funktionen an!

Ergebnisse:
a)  f(x) = 2x5 – 6x von III nach I
b)  f(x) = -4x4 + 3   von III nach IV
c)  f(x) = 2x – 5  von III nach I
d)  f(x) = -2x von III nach IV
e)  f(x) = 4x4 – 3x2 + 4x – 5  von II nach I
f)  f(x) = 6x + 3 von II nach IV
g)  f(x) = 4x4 + 3x3 – 6x5 von II nach IV
h)  f(x) = -2x5 + 6x von II nach IV

5.

Gib den Verlauf und die Symmetrie der Graphen folgender Funktionen an!

Ergebnisse:
a) f(x) = \sqrt3x^2 - \sqrt5x^4 - 2
= - \sqrt5x^4 + \sqrt3x^2 - 2    Achsensymmetrie, von III nach IV
b) f(x) = x(x + \frac{1}{2})(8 - \frac{1}{2}x)
= -\frac{1}{2}x^3 + \frac{31}{4}x^2 + 4x    keine Symmetrie, von II nach IV
c) f(x) = 5x6 – 4x4 + 5   Achsensymmetrie, von II nach I
d) f(x) = x5 + x3 – 2x   Punktsymmetrie, von III nach I
e) e) f(x) = 5  Achsensymmetrie, von II nach I
f) f(x) = (x2 – 25)(x2 + 6x + 9) = x4 + 6x3 – 16x2 – 150x = 225  keine Symmetrie, von II nach I
g) f(x) = x5 + 4x4 + 4x3   keine Symmetrie, von III nach I
h) f(x) = (4x2 – 4)(x3 + 8x2 + 16x)(x3 + 27)
= 4x8 + 32x7 + 60x6 + 76x5 + 800x4 + 1620x3 – 864x2 – 1728x  keine Symmetrie, von II nach I
i) f(x) = -3    Achsensymmetrie, von III nach IV
j) f(x) = -x5 + x3 – 2  keine Symmetrie, von II nach IV

6.

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen!

Ergebnisse:
a) f(x) = (x – 4)(x – 2)(x + 1) ⇒ Px1(4|0); Px2(2|0); Px3(-1|0)
b) f(x) = (x – 4)(-x + 2) ⇒  Px1(4|0); Px2(2|0)
c) f(x) = x(x + 5)2 = x(x + 5)(x + 5) ⇒ Px1(0|0); Px2/3(-5|0)
d) f(x) = 3(x – 4)3(x + 2) = (x – 4)(x – 4)(x – 4)(x + 2) ⇒ Px1/2/3(4|0); Px4(-2|0)
e) f(x) = (2x – 4)(x + 3)3 ⇒ Px1(2|0); Px2(-3|0); Px3/4/5(0|0)
f)
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und hier die Theorie hierz: Symmetrie und Verlauf ganzrationaler Funktionen



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