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Mathematischer
Hintergrund
Anwendungsaufgaben zum Pythagoras I
Ausführliche Lösungen
zm_403




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Nr. 01 02 03 04

1. Ergebnis
  Insgesamt werden 4,337 m Profilstäbe benötigt.
  Ausführliche Lösung

2. Ergebnisse
  a) Die fehlende Länge beträgt etwa 0,6 m.
  b) Die fehlende Länge beträgt etwa 1,063 m.
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnis
  Insgesamt werden 23,134 m Profilstäbe benötigt.
  Ausführliche Lösung und Lösung mit dem GTR

4. Ergebnisse
  a) Gedehntes Seil: 6,597 m. Längenänderung etwa 0,197 m.
  b) Das Seil wird um etwa 3,078% gedehnt.
  Ausführliche Lösungen und Lösung mit dem GTR

1. Nach nebenstehender Zeichnung soll ein Gartentor aus Vierkantprofil (40x40) gefertigt werden.
Bestimmen Sie die Gesamtlänge der benötigten Profilstäbe, wenn mit einem Verschnitt von 5% zu rechnen ist.
01_des
  Ausführliche Lösung
  Bei der Berechnung der jewiligen Längen ist der Querschnitt des Vierkantprofils zu berücksichtigen. Das Rechteck besteht aus zwei waagerechten Streben der Länge 880 mm und aus zwei senkrechten Streben der Länge 680 mm. Die Länge der Querstrebe ist mit dem Pythagoras zu berechnen.
5% Verschnitt bezieht sich auf die insgesamt benötigte Länge. Das ist der Grundwert oder auch 100%. Die verminderte Länge kommt zustande, indem man von der insgesamt benötigten Länge 5% Verschnitt abzieht. 95% bedeutet, die insgesamt ermittelte Länge ist nur 0,95 mal so groß wie die benötigte Länge.
  01_l
Insgesamt werden 4337 mm bzw. 4,337 m Profilstäbe benötigt.

2a Berechnen Sie die fehlende Länge. 02a_des
  Ausführliche Lösung
  Die zu bestimmende Länge entspricht der Kathete des rechtwinkligen Dreiecks. Diese lässt ich nach dem Satz des Pythagoras berechnen.
  02a_l
Die Länge der gesuchten Kathete beträgt etwa 0,6 m.

2b Berechnen Sie die fehlende Länge. 02b_des
  Ausführliche Lösung
  Die zu bestimmende Länge entspricht der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Diese lässt ich nach dem Satz des Pythagoras berechnen.
  02b_l
Die Länge der gesuchten Hypotenuse beträgt etwa 1,063 m.

3. Nach nebenstehender Zeichnung soll ein Doppeltor gebaut werden. Welche Gesamtlänge an Stäben ist nötig, wenn der Verschnitt 4% beträgt?
(Stabprofil: 50 x 50 )
Beachten Sie, wie die Profile zusammengebaut werden.
03_des
  Ausführliche Lösung und Lösung mit dem GTR
  Bei der Berechnung der jewiligen Längen ist der Querschnitt des Vierkantprofils zu berücksichtigen. Das Tor besteht aus zwei Rechtecken mit jeweils einer Querstrebe. Das Rechteck besteht aus zwei waagerechten Streben der Länge x und aus zwei senkrechten Streben der Länge y. Die Länge der Querstrebe ist mit dem Pythagoras zu berechnen.
4% Verschnitt bezieht sich auf die insgesamt benötigte Länge. Alle Maße sind in der Einheit mm angegeben. Wenn man das berücksichtigt, kann bei der Rechnung die Einheit weggelassen werden, sofern die Zahlenangaben mm entsprechen. Das Endergebnis wird dann wieder mit der Einheit mm bzw. m versehen.
03_des_l
  03_l
Insgesamt werden 23134 mm bzw. 23,134 m Profilstäbe benötigt.
Zwischenrechnungen wurden auf drei Stellen gerundet. Das Endergebnis auf ganze mm.

4. In der Mitte zwischen zwei Häusern soll an einem Spannseil eine Straßenlaterne aufgehängt werden.
Das Spannseil hat genau eine Länge von l = 6,4 m.
Nachdem die Lampe angebracht wurde, hängt das Seil, wie aus nebenstehender Zeichnung zu sehen ist etwas durch.
04_des
  a) Um welche Länge wurde das Seil durch die Belastung gedehnt?
  b) Wie viel % wird das Seil gedehnt?
  Ausführliche Lösung 4a und Lösung mit dem GTR
  Die Länge des gedehnten Seiles ist aus Symmetriegründen die doppelte Länge der Hypotenuse des in nebenstehender Skizze eingezeichneten Dreiecks.
Aus den angegebenen Maßen sind die Katheten x und y zu berechnen.
Mit dem Satz des Pythagoras erhält man die Länge der Hypotenuse.
04a_des_l
  04a_l
Die Längenänderung des Seils beträgt etwa 197 mm bzw. 0,197 m.
  Ausführliche Lösung 4b
  Gesucht ist der Prozentsatz der Längenänderung bezogen auf die Länge des ungedehnten Seiles.
  04b_l
Die Längenänderung beträgt etwa 3,078%.

Lösungen mit dem GTR Casio fx-CG 20 unter Verwendung der Variablenspeicher
  Wenn Zwischenergebnisse gerundet werden, ist das Endergebnis fehlerbehaftet. Die Größe des Fehlers hängt davon ab, wie stark gerundet wird und in wieviel Stufen der Rechnung gerundet wird. Nachfolgend werden Zwischenergebnisse in Variablenspeicher geschoben, mit denen dann weitergrechnet wird.

GTR 3 Lösung mit dem Casio fx-CG20        GTR-Übersicht
  Rechnung mit gerundeten Zwischenergebnissen.
  gtr_03_1
  Rechnung mit Variablenspeicher.
Die folgende Darstellung zeigt, was im Rechnerdisplay erscheint. Dabei werden die elementaren Eingabetechniken vorausgesetzt. Exakte Eingabebeispiele sind weiter unten zu finden.
  gtr_03_2
  Das exakte Ergebnis unterscheidet sich erst in der 3. Stelle nach dem Komma vom Ergebnis, in dem die Zwischenwerte auf drei Stellen hinter dem Komma gerundet wurden.
  Exakte Eingabeprozedur. Jede Zeile wird in einen Variablenspeicher geschoben.
gtr_03_3

GTR 4 Lösung mit dem Casio fx-CG20        GTR-Übersicht
  Rechnung mit gerundeten Zwischenergebnissen.
  gtr_04_1
  Rechnung mit Variablenspeicher.
  gtr_04_2
  Das exakte Ergebnis unterscheidet sich erst in der 3. Stelle nach dem Komma vom Ergebnis, in dem die Zwischenwerte auf drei Stellen hinter dem Komma gerundet wurden.
  Exakte Eingabeprozedur. Jede Zeile wird in einen Variablenspeicher geschoben.
gtr_04_3