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Mathematischer
Hintergrund
Abiturvorbereitung Aufgabe 11
Aufgabenstellung und ausführliche Lösung





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Die Befragung an einem Berufskolleg ergab, dass 75% aller weiblichen Schüler (W) und 65% aller männlichen Schüler (M) gerne Sport (S) treiben. 54% aller Schüler sind weiblich.
  a) Stellen Sie diesen Sachverhalt in einer Vierfeld- Tafel dar.
  b) Wie viel Prozent aller Schüler treiben gerne Sport?
  c) Zeichnen Sie das Baumdiagramm und den inversen Baum. Bestimmen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.
  d) Berechnen Sie für die zufällige Auswahl eines Schülers die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Der zufällig ausgewählte Schüler ist männlich und treibt gerne Sport.
B: Der zufällig ausgewählte Schüler treibt gerne Sport.
C: Der zufällig ausgewählte Schüler ist männlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ungern Sport treibt?
D: Der zufällig ausgewählte Schüler treibt gerne Sport. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er weiblich?
 
Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 70% aller Schüler, gerne Sport treiben. Weiterhin wird angenommen, dass die Anzahl der Schüler, die gerne Sport treiben einer Binomialverteilung genügt.
Eine Tabelle der Binomialverteilung für n = 100 und p = 0,7 ist beigefügt.
  e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man in einer Zufallsstichprobe unter 100 ausgewählten Schülern:
(1) genau 70 sportbegeisterte
(2) weniger als 75 sportbegeisterte
(3) mindestens 60 höchstens 71 sportbegeisterte
(4) mehr als 75 sportbegeisterte
  f) Die Annahme p = 0,7 soll auf einem Signifikanzniveau von höchstens 10% getestet werden. Bestimmen Sie den Annahme und den Ablehnungsbereich. Überprüfen Sie die für den gewählten Ablehnungsbereich den Fehler 1. Art und kommentieren Sie das Ergebnis.
  g) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus e) und f) mit der Tabelle der Normalverteilung und bestimmen Sie die prozentuale Abweichung der Werte bezogen auf die der Binomialverteilung.
    tab_100_07

Ergebnisse:
  a) Siehe ausführliche Lösungen.
  b) 70,4% aller Schüler treiben gerne Sport.
  c) Siehe ausführliche Lösungen.
  d)
A: d_a_e
B: d_b_e
C: d_c_e
D: d_d_e
  e)
(1) e_1_e
(2) e_2_e
(3) e_3_e
(4) e_4_e
  f) Siehe ausführliche Lösungen.
  g) Siehe ausführliche Lösungen.

Ausführliche Lösungen:
  a) a_e
  b) b_e
70,4% aller Schüler treiben gerne Sport.
  c) Das Baumdiagramm
c_des_e_1
Der inverse Baum
c_des_e_2
  d) d_e_1
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Schüler männlich ist und gerne Sport treibt, beträgt 0,299.
d_e_2
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Schüler gerne Sport treibt, ist 0,704.
d_e_3
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Schüler, von dem man weiß, das er männlich ist, ungern Sport treibt, ist 0,35.
d_e_4
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Schüler, von dem man weiß, das er gerne Sport treibt, weiblich ist, beträgt etwa 0,575.
  e)
(1) e_e_1
Die Wahrscheinlichkeit dafür, unter 100 ausgewählten Schülern genau 70 sportbegeisterte zu finden beträgt 0,087.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
(2) e_e_2
Die Wahrscheinlichkeit dafür, unter 100 ausgewählten Schülern weniger als 75 sportbegeisterte zu finden beträgt 0,837.
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(3) e_e_3
Die Wahrscheinlichkeit dafür, unter 100 ausgewählten Schülern mindestens 60 und höchstens 71 sportbegeisterte zu finden beträgt 0,611.
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(4) e_e_4
Die Wahrscheinlichkeit dafür, unter 100 ausgewählten Schülern mehr als 75 sportbegeisterte zu finden beträgt 0,114.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  f) Hypothesentest:

Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Es soll überprüft werden, ob der Anteil der Schüler die gerne Sport treiben 70% beträgt. Da weder eine eindeutige Abweichung nach oben oder nach unten vermutet wird, handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.
Die Hypothesen lauten:
Nullhypothese: H0: p = 0,7; Alternativhypothese H1: p ≠ 0,7.
Der Ablehnungsbereich, bestimmt durch das Signifikanzniveau von 10%, verteilt sich gleichmäßig auf beide Seiten.

f_e
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20

Auswertung:
Der Fehler 1. Art beträgt 0,082. Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 8,2% kann das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich von H0 liegen, so dass in diesem Fall die wahre Hypothese p = 0,7 zu unrecht verworfen wird.
  g) Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Hilfe der Tabelle für normalverteilte Zufallsvariablen.

g_e_1
Der mit dieser Methode berechnete Wert ist etwa 1,1% zu groß.
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g_e_2
Der mit dieser Methode berechnete Wert ist gleich groß.
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g_e_3
Der mit dieser Methode berechnete Wert ist etwa 1,3% zu groß.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
g_e_4
Der mit dieser Methode berechnete Wert ist 0,9% zu groß.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
g_e_5
Der mit dieser Methode berechnete Wert ist 0,6% zu groß.
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Rechenhelfer für die Binomialverteilung
formel_02 int_02
formel_03 int_03
formel_04 int_04