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Mathematischer
Hintergrund

Aufgabe 11 (Stochastik)
Sportbegeisterung, bedingte Wahrscheinlichkeit, Hypothesentest





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Die Befragung an einem Berufskolleg ergab, dass 75% aller weiblichen Schüler (W) und 65% aller männlichen Schüler (M) gerne Sport (S) treiben. 54% aller Schüler sind weiblich.  
  a) Stellen Sie diesen Sachverhalt in einer Vierfeld- Tafel dar.  
  b) Wie viel Prozent aller Schüler treiben gerne Sport?  
  c) Zeichnen Sie das Baumdiagramm und den inversen Baum. Bestimmen Sie alle Pfadwahrscheinlichkeiten.  
  d) Berechnen Sie für die zufällige Auswahl eines Schülers die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Der zufällig ausgewählte Schüler ist männlich und treibt gerne Sport.
B: Der zufällig ausgewählte Schüler treibt gerne Sport.
C: Der zufällig ausgewählte Schüler ist männlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ungern Sport treibt?
D: Der zufällig ausgewählte Schüler treibt gerne Sport. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er weiblich?
 
  Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 70% aller Schüler, gerne Sport treiben. Weiterhin wird angenommen, dass die Anzahl der Schüler, die gerne Sport treiben einer Binomialverteilung genügt.
Eine Tabelle der Binomialverteilung für n = 100 und p = 0,7 ist beigefügt.
 
  e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man in einer Zufallsstichprobe unter 100 ausgewählten Schülern:
(1) genau 70 sportbegeisterte
(2) weniger als 75 sportbegeisterte
(3) mindestens 60 höchstens 71 sportbegeisterte
(4) mehr als 75 sportbegeisterte
 
  f) Die Annahme p = 0,7 soll auf einem Signifikanzniveau von höchstens 10% getestet werden. Bestimmen Sie den Annahme und den Ablehnungsbereich. Überprüfen Sie die für den gewählten Ablehnungsbereich den Fehler 1. Art und kommentieren Sie das Ergebnis.  
  g) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus e) und f) mit der Tabelle der Normalverteilung und bestimmen Sie die prozentuale Abweichung der Werte bezogen auf die der Binomialverteilung.  
    tab_100_07 Lösung