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Mathematischer
Hintergrund
Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit
Ergebnisse und Ausführliche Lösungen





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1. Ergebnisse:
  a) 01a_e b) 01b_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse:
  a) 02a_e b) 02b_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse:
  a) 03a_e b) 03b_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse:
  a) 04a_e b) 04b_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnisse:
  a) 05a_e b) 05b_e
  Ausführliche Lösungen

6. Ergebnisse:
  a) 06a_e b) 06b_e
  c) 06c_e d) 06d_e
  Ausführliche Lösungen

7. Ergebnisse:
  a) 07a_e b) 07b_e
  c) 07c_e d) 07d_e
  Ausführliche Lösungen

8. Ergebnisse:
  a) 08a_e b) 08b_e
  Ausführliche Lösungen

9. Ergebnisse:
  a) 09a_e
  b) 09b_e
  c) 09c_e
  d) 09d_e
  Ausführliche Lösungen

10. Ergebnisse: Graphen siehe unter ausführliche Lösungen.
  a) 10a_e
  b) 10b_e
  Ausführliche Lösungen

11. Ergebnisse:
  a) Graphen siehe unter ausführliche Lösungen.
  b) 11b_e
Wird auf 2 Dezimalstellen gerundet, dann liegt P auf der Geraden.
  c) 11c_e
  Ausführliche Lösungen

12. Ergebnisse:
  a) 12a_e b) 12b_e
  c) 12c_e d) 12d_e
  Ausführliche Lösungen

13. Ergebnis:
  13_e
  Ausführliche Lösung

14. Ergebnisse:
  a) 14a_e b) 14b_e
  c) 14c_e d) 14d_e
  e) 14e_e f) 14f_e
  Ausführliche Lösungen

15. Ergebnis:
  15_e
  Ausführliche Lösung

16. Ergebnisse:
  a) 16a_e b) 16b_e c) 16c_e
  Ausführliche Lösungen

17. Ergebnisse:
  a) 17a_e
  b) Nach etwa 5 Wochen ist kein Kaffee mehr vorhanden.
  c) Nach 4 Wochen sind nur noch 400 g Kaffee vorhanden.
  d) Den Graphen finden Sie unter Ausführliche Lösungen.
  Ausführliche Lösungen

18. Ergebnis:
  Das Grundgehalt beträgt 2656 €, die Überstundenpauschale 21 €.
  Ausführliche Lösung

19. Ergebnisse:
  a) 19a_e
  b) 19b_e
  c) Den Graphen finden Sie unter Ausführliche Lösungen.
  Ausführliche Lösungen

20. Ergebnisse:
  a) 20a_e
  b) 20b_e
  c) 20c_e
  d) 70% des Einkommenszuwachses wird für den Konsum ausgegeben.
  e) 20e_e

Bedeutung der Nullstelle:
Erst ab einem Einkommen von 666,67 € kann gespart werden. Die 666,67 € bilden in diesem Modell das Existenzminimum. Unterhalb des Existenzminimums werden Schulden gemacht, denn Mensch muss ja irgendwo von leben. Den Graphen finden Sie unter Ausführliche Lösungen.
  Ausführliche Lösungen

21. Ergebnisse:
  a) 21a_e
  b) Bei einer Produktion von 140 Stück betragen die Stückkosten 2,82 €.
  c) Bei sehr hohen Stückzahlen streben die Stückkosten gegen 0,25 €.
  d) Ab einer verkauften Menge von 73 Lippenstiften wird Gewinn gemacht.
  e) Die Graphen finden Sie unter Ausführliche Lösungen.
  Ausführliche Lösungen

1. Berechnen Sie:
  a) 01a b) 01b
  Ausführliche Lösungen
  a) 01a_l
  b) 01b_l
  Bei der Addition oder Subtraktion von Brüchen sind diese zuerst gleichnamig zu machen. Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den Nenner beibehält. Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man ihre Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält.

2. Berechnen Sie:
  a) 02a b) 02b
  Ausführliche Lösungen
  a) 02a_l
  b) 02b_l
  Brüche werden multipliziert, indem Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden. Zwei Brüche werden dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert wird.

3. Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie.
  a) 03a b) 03b
  Ausführliche Lösungen
  a) 03a_l
  b) 03b_l
  Zuerst werden die inneren Klammern gelöst, dann die äußeren. Wenn vor einer Klammer ein Plus steht, kann die Klammer weggelassen werden. Eine Minusklammer wird aufgelöst, indem alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden.

4. Multiplizieren Sie und fassen Sie zusammen:
  a) 04a b) 04b
  Ausführliche Lösungen
  a) 04a_l
  b) 04b_l
  Jeder Summand in der Klammer wird der Reihe nach mit dem Faktor multipliziert, der vor der Klammer steht. Danach werden gleichartige Summanden zusammengefasst.

5. Klammern Sie aus:
  a) 05a b) 05b
  Ausführliche Lösungen
  a) 05a_l
  b) 05b_l

6. Berechne mit Hilfe der Binomischen Formeln.
  a) 06a b) 06b
  c) 06c d) 06d
  Ausführliche Lösungen
  a) 06a_l
  b) 06b_l
  c) 06c_l
  d) 06d_l

7. Stellen Sie folgende Terme als Produkte dar.
07
  a) 07a b) 07b
  c) 07c d) 07d
  Ausführliche Lösungen
  a) 07a_l
  b) 07b_l
  c) 07c_l
  d) 07d_l

8. Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.
  a) 08a b) 08b
  Ausführliche Lösungen
  a) 08a_l
08a_mc_l
b) 08b_l
08b_mc_l

9. 09
  a) 09a  
  b) 09b
  c) Für welche Argumente sind die Funktionswerte positiv?
  d) 09d
  Ausführliche Lösungen
  a) 09a_l
  b) 09b_l
  c) 09c_l
  d) 09d_l

10. Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte folgender linearer Funktionen und zeichnen Sie den Graphen in ein Koordinatensystem.
  a) 10a b) 10b
  Ausführliche Lösungen
  a) 10a_l 10a_mc_l
  b) 10b_l 10b_mc_l

11. 11
  a) 11a
  b) 11b
  c) 11c
  Ausführliche Lösungen
  a) 11a_l
11a_des_l
  b) 11b_l
Wird auf 2 Dezimalstellen gerundet, dann liegt P auf der Geraden.
  c) 11c_l

12. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden f(x).
  a) 12a b) 12b
  c) 12c d) 12d
  Ausführliche Lösungen
  a) 12a_l
  b) 12b_l
  c) 12c_l
  d) 12d_l

13. 131
132
  Ausführliche Lösung
  13_l

14. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden f(x).
  a) 14a
  b) 14b
  c) 14c
  d) 14d
  e) 14e
  f) 14f
  Ausführliche Lösungen
  a) 14a_l
  b) 14b_l
  c) 14c_l
  d) 14d_l
  e) 14e_l
  f) 14f_l

15. Bestimmen Sie den Funktionsterm und die Nullstelle der linearen Funktion f(x) wenn folgende Zusammenhänge bekannt sind:
  15
  Ausführliche Lösung
  15_l

16. Ermitteln Sie den Funktionsterm der linearen Funktion f(x), wenn gilt:
  a) 16a b) 16b c) 16c
  Ausführliche Lösungen
  a) 16a_l
  b) 16b_l
  c) 16c_l

17. Die Erzieherinnen und Erzieher im Kindergarten "Kunterbunt" trinken gerne Kaffee der Marke "Brinkmann's Nr. 1". Die Vorratsdose enthält momentan 1,8 kg Kaffeebohnen.Wöchentlich wird 350 g für die Kaffeemaschine benötigt.
  a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf, die diesen Vorgang beschreibt.
  b) Nach welcher Zeit ist der Kaffeevorrat aufgebraucht?
  c) Kaffee soll nachbestellt werden, wenn die Vorratsdose nur noch 400 g enthält.Wann wird das der Fall sein?
  d) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
  Ausführliche Lösungen
  a) 17a_l
Funktionsgleichung für die Abnahme des Kaffeevorrats.
  b) Kaffeevorrat aufgebraucht bedeutet:
17b_l
Nach etwa 5 Wochen ist kein Kaffee mehr vorhanden.
  c) Nur noch 400g Kaffee vorhanden bedeutet:
17c_l
Nach 4 Wochen sind nur noch 400 g Kaffee vorhanden.
  d) 17d_des_l

18. Tobias und Mario arbeiten als Krankenpfleger in einer Rehabilitationsklinik und beziehen das gleiche Grundgehalt. Zur Zeit müssen beide viel Überstunden leisten. Am Monatsende vergleichen sie ihre Gehaltsabrechnungen. Der Bruttolohn von Tobias beträgt 3559 €, der von Mario 3223 €. Tobias hat im laufenden Monat 43 Überstunden, Mario dagegen nur 27 Überstunden geleistet.
  Berechnen Sie das Grundgehalt und die Überstundenpauschale.
  Ausführliche Lösung
  Anzahl der Überstunden: x           Ausgezahlter Bruttolohn f(x)Gegeben sind zwei Wertepaare:
18_l
Das Grundgehalt beträgt 2656 €, die Überstundenpauschale 21 €.

19. Aus 80 kg Zuckerrohr lassen sich 8,5 kg Zucker herstellen. (Ein linearer Zusammenhang zwischen Zuckerrohr und Zucker wird angenommen). Ein Funktionsterm f (x) beschreibt, wie viel kg Zucker man aus x kg Zuckerrohr erhält.
  a) Bestimmen Sie den Funktionsterm f (x).
  b) 19b
  c) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f (x).
  Ausführliche Lösungen
  a) 19a_l
  b) 19b_l
Aus 100 kg Zuckerrohr lassen sich 10,625 kg Zucker gewinnen.
Aus 250 kg Zuckerrohr lassen sich etwa 26,563 kg Zucker gewinnen.
Für 25 kg Zucker benötigt man etwa 235,3 kg Zuckerrohr.
  c) 19c_des_l

20. In einem volkswirtschaftlichen Modell sind die Konsumausgaben linear vom verfügbaren Einkommen abhängig.
Bei einem Einkommen von 1000 € betragen die Konsumausgaben 900 €. Bei einem Einkommen von 1800 € betragen sie 1460 €.
  a) Ermitteln Sie einen Funktionsterm für die Konsumfunktion K.
  b) Berechnen Sie die Höhe der Konsumausgaben wenn das Einkommen 800 €, 2500 € bzw. 4000 € beträgt.
  c) Die Konsumquote ist der Anteil des Einkommens das für den Konsumaufgewendet wird. (Konsumquote = Konsum / Einkommen)Bestimmen Sie die Konsumquote für die Einkommen aus b).Welcher allgemeiner Zusammenhang besteht zwischen Konsumquote und Einkommen?
  d) Der Einkommenszuwachs betrage dx. Wie viel Prozent des Einkommenszuwachses wird für den Konsum ausgegeben?
  e) Welche Funktion S beschreibt die Sparleistung in Abhängigkeit vom Einkommen? Stellen Sie die Funktion K und S graphisch dar. Welche Bedeutung hat die Nullstelle von S?
  Ausführliche Lösungen
  a) 20a_l
  b) 20b_l
  c) 20c_l
Bemerkung:
Je höher das Einkommen, desto mehr nähert sich die Konsumquote dem Wert 0,7, das bedeutet, mindestens 70% des verfügbaren Einkommens wird für den Konsum ausgegeben. Der Rest kann gespart werden.
  d) 20d_l
Folgerung:
70% des Einkommenszuwachses wird für den Konsum ausgegeben. Das entspricht der Steigung von K(x).
  e) Alles was nicht konsumiert wird, wird gespart.
20e_l

21. Die Firma "Big Beauty" produziert den Lippenstift "Amore". Die bei der Produktion entstehenden Kosten K sind von der hergestellten Stückzahl abhängig. Bei der Produktion von x = 100 Stück entstehen Kosten von 385 €, bei der Produktion von x = 200 Stück entstehen Kosten von 410 €. Zwischen der Stückzahl und den entstehenden Kosten bestehe ein linearer Zusammenhang.
  a) Bestimmen Sie die Kostenfunktion.
  b) Wie hoch sind die Stückkosten bei einer Produktion von x = 140 Stück?
  c) Gegen welchen Wert streben die Stückkosten bei sehr hohen Stückzahlen?
  d) Bei welcher Menge x liegt die Gewinnschwelle, wenn ein Verkaufspreis von 5,20 € pro Lippenstift erzielt wird?
  e) Zeichnen Sie die Graphen von K(x) und E(x) in ein Koordinatensystem.
  Ausführliche Lösungen
  a) 21a_l
  b) 21b_l
Bei einer Produktion von 140 Stück betragen die Stückkosten 2,82 €.
  c) 21c_l
  d) Gewinnschwelle bedeutet, der Erlös E(x) ist gerade so groß wie die Kosten K(x).
21d_l
Ab einer verkauften Menge von 73 Lippenstiften wird Gewinn gemacht.
  e) 21e_mc_l