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Lineare Funktionen Teil XVII
Ausführliche Lösungen
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Nr. 01 02 03 04 05 06

1. Der Schnellimbiss "MC- Pommes" benötigt für die Fritteusen täglich 19 kg frisches Fett. Momentan sind noch 250 kg im Lager vorhanden.
  a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
  b) Bei einem Lagerbestand von 95 kg soll der Filialleiter nachbestellen. Nach wie viel Tagen muss die Bestellung erfolgen?
  c) Wie lange reicht das Fett, wenn nicht nachbestellt wird?
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  a) Die unabhängige Variable x steht für die Zeit in Tagen.
Die abhängige Variable f(x) steht für die verbleibende Menge Fett in kg.
Der Anfangswert beträgt 250 kg.
Die Änderungsrate ist negativ und beträgt 19 kg/Tag.

Da ein linearer Zusammenhang besteht gilt:

01a_l
01a_des_l
  b) Da bei 95 kg nachbestellt werden soll, gilt der Ansatz:
01b_l
Die Bestellung muss in etwa 8 Tagen erfolgen.
  c) Zu bestimmen ist der Schnittpunkt des Graphen mit der y- Achse:
01c_l
Das Fett reicht noch etwa 13 Tage.

2. Die Pferdeställe auf dem Ponyhof "Robinson" müssen in bestimmten Zeitabständen ausgemistet und mit frischem Stroh versorgt werden. Dabei fallen täglich 2,5 m3 Mist an. Der Misthaufen hat momentan ein Volumen von 11 m3. Maximal können 50 m3 Mist gelagert werden.
  a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die diesen Sachverhalt beschreibt und zeichnen Sie den dazugehörigen Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
  b) Nach welcher Zeit muss der Mist abgefahren werden?
  c) Vor wie vielen Tagen wurde das letzte Mal Mist abgefahren?
  Ausführliche Lösungen
  a) Die unabhängige Variable x steht für die Zeit in Tagen.
Die abhängige Variable f(x) steht für die Menge Mist in m3.
Der Anfangswert beträgt 11 m3.
Die Änderungsrate ist positiv und beträgt 2,5 m3/Tag.
Da ein linearer Zusammenhang besteht gilt:
02a_l
02a_des_l
  b) Zu bestimmen ist die Zeit, nach der das Mistaufkommen auf 50 m3 angewachsen ist.
02b_l
Nach etwa 15 Tagen muss der Mist abgefahren werden.
  c) Der x- Wert des Schnittpunktes des Graphen mit der x- Achse im negativen Bereich gibt an wann der Mist zuletzt abgefahren wurde.
02c_l
Vor etwas mehr als 4 Tagen wurde das letzte Mal der Mist abgefahren.

3. Armin sieht sich die Tarife des Telefonanbieters "Billigsurf" an.
Tarif A:
Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,5 Ct. / min.
Tarif B:
Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 20 Stunden frei, dann 0,4 Ct. / min.
Tarif C: Flatrate 25 € / Monat.
Durchschnittlich surft Armin zweieinhalb Stunden täglich.
  a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf.
  b) Zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
  c) Erklären Sie, was alles aus den Graphen ablesbar ist (Interpretation).
  d) Berechnen Sie den günstigsten Tarif für Armin.
  e) In welchem Punkt herrscht Kostengleichheit für Tarif A und B?
  f) Ab welcher Surfzeit sollte Armin die Flatrate wählen?
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  a) 03a_des_l

03a1_l

03a2_l
  b) 03b_des_l
  c) Bei etwa 53 Stunden schneiden sich beide Geraden, in dem Punkt herrscht Kostengleichheit. Bis etwa 53 Stunden ist Tarif A der günstigste. Zwischen etwa 53 und 82 Stunden ist Tarif B der günstigste. Ab etwa 82 Stunden lohnt sich die Flatrate.
  d) Armin surft etwa 75 Stunden im Monat. Für ihn wäre bei dieser Surfdauer Tarif B der günstigste. Eine Rechnung soll das belegen:
03d_l
  e) Kostengleichheit für Tarif A und B ist im Schnittpunkt beider Geraden zu finden.
03e_l
Kostengleichheit herrscht bei einer Surfzeit von 53 h und 20 min. Die für diese Zeit anfallenden Kosten betragen für beide Tarife 18 €.
  f) Aus den Graphen ist abzulesen, dass der Schnittpunkt von KB (x) mit F (x) den Punkt markiert, ab dem für längere Surfzeiten die Flatrate günstiger ist als Tarif B.
03f_l
Ab einer Surfdauer von 82,5 Stunden monatlich, sollte man auf die Flatrate umstellen.

4. Holger und Ali haben die Vertragskonditionen für ihre Handys nie gelesen.
Beide behaupten, sie hätten jeweils den günstigsten Vertrag und stützen sich dabei auf folgende Daten:
Holger zahlt 10,10 €, wenn er im Monat 30 Minuten telefoniert und 13,70 € bei 60 Minuten.
Ali zahlt 10,80 €, wenn er im Monat 40 Minuten telefoniert und 15,20 € bei 80 Minuten.
  a) Stellen Sie für beide Verträge die Funktionsgleichungen auf.
  b) Zeichnen Sie beide Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
  c) Wer von beiden hat den günstigsten Vertrag? Begründen Sie Ihr Ergebnis.
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  a) 04a_l
  b) 04b_des_l
  c) Ali hat den günstigsten Vertrag, denn seine Kostenkurve K2(x) liegt immer unterhalb der von Holger.

Die beiden Geraden schneiden sich auch nicht im positiven x- Bereich, da die Steigung von K2(x) geringer ist als die von K1(x), wird mit zunehmender Gesprächsdauer der Kostenunterschied immer größer.

Der Schnittpunkt der Geraden liegt im negativen x- Bereich und hat in Bezug auf die Aufgabenstellung keine Bedeutung.

5. Ein Tarifmodell eines Energieversorgers setzt sich aus einer monatlichen Grundgebühr G und den Verbrauchskosten p pro kWh zusammen.
05
  a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf und zeichnen Sie die dazugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.
  b) Ermitteln Sie für den monatlichen Verbrauch von 800 kWh einer Durchschnittsfamilie den günstigsten Anbieter.
  c) Welche Bedeutung haben die Schnittpunkte der Geraden im Koordinatensystem?
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  a) 05a_l
05a_mc_l
  b) 05b_l
Bei einem monatlichen Verbrauch von 800 kWh ist Tarif IV der günstigste.
  c) Immer da wo sich zwei Graphen schneiden entstehen für einen bestimmten Verbrauch die gleichen Kosten.

6. Gegeben ist die lineare Funktion f(x) = 0,4x - 2 . Der Funktionsgraph wird um 4 Einheiten in Richtung der positiven x- Achse verschoben. Bestimmen Sie den Funktionsterm g(x) der verschobenen Geraden. Wie lässt sich g(x) noch aus f(x) erzeugen?
  Ausführliche Lösung
  06_l
Das gleiche Ergebnis erhält man durch eine Verschiebung um 1,6 Einheiten nach unten.