Startseite Downloadportal Mathe- Physik CD Mathevideos
Lösungen zm_149 word pdf
Mathematischer
Hintergrund
Lineare Funktionen Teil XIII
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





<<< voriges Aufgabenblatt Aufgabenblatt nächstes Aufgabenblatt >>>

Nr. 01 02 03 04 05

1. 01
Der Graph der Funktion f1 (x) wird im Punkte S vom Graphen der Funktion f2 (x) rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f1 (x).
  b) Die Achsenschnittpunkte beider Geraden.
  c) Die Graphen der beiden Funktionen in D.
  Ergebnisse
  a) 01a_e c) 01c_mc_e: Geradenschnitt rechtwinklig
  b) 01b_e
  Ausführliche Lösungen

2. Gegeben sind die Funktionen f1 (x) und f2 (x) zweier Geraden und die Steigung a13 einer dritten Geraden mit der Funktion f3 (x). Bestimmen Sie die Funktion f3 (x) so, dass ihr Graph durch den Schnittpunkt S der anderen beiden Geraden verläuft. Ermitteln Sie die Achsenschnittpunkte aller drei Geraden und zeichnen Sie die Graphen der drei Funktionen in D.
  a) 02a b) 02b
  Ergebnisse
  a) 02a_e 02a_mc_e: Drei Geraden schneiden sich in einem Punkt
  b) 02b_e 02b_mc_e: Schnittpunkt von drei Geraden
  Ausführliche Lösungen

3. Die Gerade mit der Funktion f1 (x) geht durch den Punkt P1 und wird im Punkte S von einer zweiten Geraden, die durch den Punkt P2 geht, geschnitten. Bestimmen Sie die Funktionen f1 (x) und f2 (x) die Achsenschnittpunkte ihrer Graphen und zeichnen Sie die Graphen in D.
03
  Ergebnisse
  03_e 03mc_e: Geradenschnitt im 1. Quadranten
  Ausführliche Lösungen

4. 04
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) schneidet die Abszissenachse bei -8. Parallel zu f1 (x) schneidet eine zweite Gerade mit der Funktion f2 (x) die Abszissenachse bei -4. Beide Geraden werden von einer dritten Geraden mit der Funktion f3 (x), die durch die Punkte P1 und P2 geht, in den Punkten P3 und P4 rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f3 (x). b) Die Funktion f1 (x).
  c) Die Funktion f2 (x). d) Die Graphen der drei Funktionen in D.
  Ergebnisse
  a) 04a_e d) 04d_mc_e: Zwei parallele Geraden werden von einer 3. senkrecht geschnitten
  b) 04b_e
  c) 04c_e
  Ausführliche Lösungen

5. 05
Von einem rechtwinkligen Dreieck, dessen rechter Winkel bei C liegt, sind die Punkte A und B gegeben. Die Dreieckseite [BC] mit der Funktion f3 (x) schneidet die Ordinatenachse bei 3. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f1 (x) der Seite [AB]. b) Die Funktion f3 (x) der Seite [BC].
  c) Die Funktion f2 (x) der Seite [AC]. d) Die Koordinaten des Punktes C.
  e) Die Graphen in D.
  Ergebnisse
  a) 05a_e e) 05e_mc_e: Drei Geraden bilden ein Dreieck
  b) 05b_e
  c) 05c_e
  d) 05d_e
  Ausführliche Lösungen

1. 01
Der Graph der Funktion f1 (x) wird im Punkte S vom Graphen der Funktion f2 (x) rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f1 (x).
  b) Die Achsenschnittpunkte beider Geraden.
  c) Die Graphen der beiden Funktionen in D.
  Ausführliche Lösungen
  a) Der Graph von f1(x) verläuft rechtwinklig zu f2(x) durch den Punkt S( 2 | 5/2 )
01a_l: Gerade rechtwinklig durch Punkt
Wie gehe ich vor?
Die Steigung der zu f2(x) senkrechten Geraden f1(x) ist der negativ- reziproke Wert des Steigungsfaktors der Geraden f2(x). Das bedeutet im Klartext: Die Steigung der zu f2(x) senkrechten Geraden findet man, indem man den Kehrwert ihres Steigungsfaktors bildet und mit -1 multipliziert. Sollte der Steigungsfaktor von f2(x) eine ganze Zahl sein, ist daraus ein Bruch zu bilden, indem man die Zahl mit dem Nenner 1 vesieht. In die allgemeine Form der Funktionsgleichung von f1(x) trägt man den Steigungsfaktor a11 der zu f2(x) senkrecht verlaufenden Geraden f1(x) ein. Mit den Koordinaten des vorgegebenen Punktes lässt sich die Konstante a01 berechnen. Statt senkrecht zueinander verlaufende Geraden sagt man auch die Geraden sind orthogonal.
  b) Achsenschnittpunkte
01b_l: Achsenschnittpunkte von Geraden
Wie gehe ich vor?
Die y- Koordinate von Py lässt sich aus der Funktionsgleichung ablesen. Den Schnittpunkt mit der x- Achse findet man, indem die Funktionsgleichung Null gesetzt und nach x aufgelöst wird. Der so gefundene x- Wert ist die Nullstelle, an der der Graph die x- Achse schneidet.
  c) 01c_mc_l: Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt

2. Gegeben sind die Funktionen f1 (x) und f2 (x) zweier Geraden und die Steigung a13 einer dritten Geraden mit der Funktion f3 (x). Bestimmen Sie die Funktion f3 (x) so, dass ihr Graph durch den Schnittpunkt S der anderen beiden Geraden verläuft. Ermitteln Sie die Achsenschnittpunkte aller drei Geraden und zeichnen Sie die Graphen der drei Funktionen in D.
  a) 02a b) 02b
  Ausführliche Lösungen
  a) Schnittpunkt von f1(x) mit f2(x) berechnen.
02a1_l: Geradenschnittpunkt berechnen
Wie gehe ich vor?
Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden. Das bedeutet, die Schnittpunktkoordinaten gelten für beide Funktionsgleichungen. Um die x- Koordinate vom Schnittpunkt zu berechnen, sind beide Geradengleichungen gleich zu setzen. Die Lösung der linearen Gleichung liefert die x- Koordinate vom Geradenschnittpunkt. Setzt man die x- Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, so ist das Ergebnis die y- Koordinate des Schnittpunktes. Damit sind die Koordinaten des Geradebschnittpunktes S eindeutig bestimmt. Es ist egal, in welche der beiden Funktionsgleichungen die x- Koordinate eingesetzt wird. Man sollte die Gleichung nehmen, mit der sich am einfachsten rechnen lässt, z.B. wenn in ihr keine Brüche vorkommen. Soll das Ergebnis kontrolliert werden, so muss die x- Koordinate vom Geradenschnittpunkt in beide Funktionsgleichungen eingesetzt werden. In beiden Fällen muss der Wert der y- Koordinate des Geradenschnittpunktes herauskommen.
Funktionsgleichung von f3(x) berechnen. Steigung und Punkt sind bekannt.
02a2_l: Geradnengleichung berechnen bei Vorgabe von Steigung und Punkt
Wie gehe ich vor?
In die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer linearen Funktion trägt man den Steigungsfaktor a13 ein. Mit den Koordinaten des vorgegebenen Punktes lässt sich die Konstante a03 berechnen.
Achsenschnittpunkte
02a3_l: Achsenschnittpunkte von drei Geraden

02a_mc_l: Geradenschnittpunkt im 2. Quadranten
  b) Schnittpunkt von f1(x) mit f2(x) berechnen.
02b1_l: Den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
Funktionsgleichung von f3(x) berechnen. Steigung und Punkt sind bekannt.
02b2_l: Geradengleichung aus Steigung und Punkt
Achsenschnittpunkte
02b3_l: Berechnung der Achsenschnittpunkte dreier Geraden

02b_mc_l: In einem Punkt des 2. Quadranten schneiden sich drei Geraden

3. Die Gerade mit der Funktion f1 (x) geht durch den Punkt P1 und wird im Punkte S von einer zweiten Geraden, die durch den Punkt P2 geht, geschnitten. Bestimmen Sie die Funktionen f1 (x) und f2 (x) die Achsenschnittpunkte ihrer Graphen und zeichnen Sie die Graphen in D.
03
  Ausführliche Lösung
  f1(x) geht durch P1 und S. f2(x) geht durch P2 und S. Lösung nach dem Verfahren "Gerade durch zwei Punkte".
031_l: Gerade durch zwei Punkte, Funktionsgleichung berechnen
Die Achsenschnittpunkte:
032_l: Berechnen der Achsenschnittpunkte zweier Geraden
03_mc_l: Geradenschnittpunkt im ersten Quadranten

4. 04
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) schneidet die Abszissenachse bei -8. Parallel zu f1 (x) schneidet eine zweite Gerade mit der Funktion f2 (x) die Abszissenachse bei -4. Beide Geraden werden von einer dritten Geraden mit der Funktion f3 (x), die durch die Punkte P1 und P2 geht, in den Punkten P3 und P4 rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f3 (x). b) Die Funktion f1 (x).
  c) Die Funktion f2 (x). d) Die Graphen der drei Funktionen in D.
  Ausführliche Lösungen
  a) f3(x) geht durch die Punkte P1 und P2. Gerade durch zwei Punkte.
04a_l: Gerade geht durch zwei Punkte
Wie gehe ich vor?
Mit den Koordinaten der beiden vorgegebenen Punkte berechnet man den Steigungsfaktor a13 und trägt ihn in die allgemeine Form der Funktionsgleichung ein. Mit den Koordinaten eines der vorgegebenen Punkte lässt sich die Konstante a03 berechnen.
  b) f1(x) ist senkrecht zu f3(x) und verläuft durch Px( -8 | 0 ). f1(x) lässt sich nach der Methode "Steigung bekannt, Gerade verläuft durch einen Punkt" berechnen.
04b_l: Zweite Gerade senkrecht durch vorgegebenen Punkt
  c) Da f2(x) parallel zu f1(x) verläuft, haben beide Geraden die gleiche Steigung. f2(x) schneidet die x- Achse bei -4, geht also durch den Punkt Px( -4 | 0 ). f2(x) lässt sich nach der Methode "Steigung bekannt, Gerade verläuft durch einen Punkt" berechnen.
04c1_l: Parallele Gerade durch Punkt
f3(x) schneidet sich mit f1(x) im Punkt P3. f3(x) schneidet sich mit f2(x) im Punkt P4. Zu berechnen sind diese beiden Punkte.
04c2_l: Gerade schneidet Parallele, Berechnung der Schnittpunkte
  d) 04d_mc_l: Zwei parallele Geraden werden senkrecht von einer dritten Gerade geschnitten

5. 05
Von einem rechtwinkligen Dreieck, dessen rechter Winkel bei C liegt, sind die Punkte A und B gegeben. Die Dreieckseite [BC] mit der Funktion f3 (x) schneidet die Ordinatenachse bei 3. Bestimmen Sie:
  a) Die Funktion f1 (x) der Seite [AB]. b) Die Funktion f3 (x) der Seite [BC].
  c) Die Funktion f2 (x) der Seite [AC]. d) Die Koordinaten des Punktes C.
  e) Die Graphen in D.
  Ausführliche Lösungen
    Planskizze:
05_des_l: Rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei C
  a) f1(x) repräsentiert die Seite [AB] und geht durch die Punkte A und B. Gerade durch zwei Punkte.
05a_l: Zwei Punkte gegeben, Berechnung der Geradengleichung
  b) f3(x) repräsentiert die Seite [BC] und geht durch die Punkte B und Py( 0 | 3 ). Gerade durch zwei Punkte.
05b_l: Berechnung der Geradengleichung bei Vorgabe zweier Punkte
  c) f2(x) repräsentiert die Seite [AC], geht durch den Punkt A und verläuft senkrecht zu f3(x). Gerade durch Punkt, mit Vorgabe der Steigung.
05c_l: Senkrecht zueinander verlaufende Geraden
  d) Schnittpunkt von f2(x) mit f3(x) ist der Dreieckspunkt C.
05d_l: Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Dreieckspunkt C
  e) 05e_mc_l: Drei Geraden bilden eib rechtwinkliges Dreieck