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Mathematischer
Hintergrund
Lineare Funktionen Teil XI
Ergebnisse und ausfühlich dokumentierte Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05

1. 01
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird von einer zweiten Geraden mit der Funktion f2 (x) geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Den Schnittpunkt S mit den Koordinaten xs und ys.
  b) Die Schnittpunkte beider Geraden mit der y- Achse.
  c) Die Schnittpunkte beider Geraden mit der x- Achse.
  d) Die Graphen beider Funktionen in D.
  Ergebnisse
  a) 01a_e d) 01d_mc_e: Zwei sich schneidende Geraden
  b)
  c)
  Ausführliche Lösungen

2. 02
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird im Punkt S ( 3 | ys ) von der Geraden mit der Funktion f2 (x) rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die vollständigen Koordinaten von S.
  b) Die Funktion f2 (x).
  c) Die Schnittpunkte beider Geraden mit den Koordinatenachsen.
  d) Die Graphen beider Funktionen in D.
  Ergebnisse
  a) 02a_e d) 02d_mc_e: Zwei senkrecht zueinander verlaufende Geraden
  b) 02b_e
  c) 02c_e
  Ausführliche Lösungen

3. 03
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird im Punkt S ( -4 | ys ) von der Geraden mit der Funktion f2 (x) die die Abszissenachse bei -7 schneidet, geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die vollständigen Koordinaten von S.
  b) Die Funktion f2 (x).
  c) Die Schnittpunkte beider Geraden mit den Koordinatenachsen.
  d) Die Graphen beider Funktionen in D.
  Ergebnisse
  a) 03a_e d) 03d_mc_e: Zwei Geraden schneiden sich im 2. Quadranten
  b) 03b_e
  c) 03c_e
  Ausführliche Lösungen

4. Gegeben sind die Punkte P1, P2 und P3 eines Dreiecks. Bestimmen Sie die Funktionen der Dreieckseiten. Fertigen Sie zuvor eine Planskizze an.
  a) 04a b) 04b
  Ergebnisse
  a) 04a_e 04a_mc_e: Drei Geraden bilden ein Dreieck im zweiten Quadranten
  b) 04b_e 04b_mc_e: Drei Geraden bilden ein Dreieck im ersten Quadranten
  Ausführliche Lösungen

5. 05
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird von einer zweiten Geraden mit der Funktion f2 (x), die durch den Punkt P2 geht, im Punkte S rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Steigung a12 von f2 (x).
  b) Die Funktion f2 (x).
  c) Den Schnittpunkt S der beiden Geraden.
  d) Die Achsenschnittpunkte der beiden Geraden.
  e) Die Graphen der beiden Geraden in D.
  Ergebnisse
  a) 05a_e e) 05e_mc_e: Schnittpunkt zweier rechtwinklig zueinander verlaufenden Geraden im 2. Quadranten
  b) 05b_e
  c) 05c_e
  d) 05d_e
  Ausführliche Lösungen

1. 01
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird von einer zweiten Geraden mit der Funktion f2 (x) geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Den Schnittpunkt S mit den Koordinaten xs und ys.
  b) Die Schnittpunkte beider Geraden mit der y- Achse.
  c) Die Schnittpunkte beider Geraden mit der x- Achse.
  d) Die Graphen beider Funktionen in D.
  Ausführliche Lösungen
  a) Schnittpunkt beider Geraden berechnen.
01a_l: Rechnung Geradenschnittpunkt
Wie gehe ich vor?
Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden. Das bedeutet, die Schnittpunktkoordinaten gelten für beide Funktionsgleichungen. Um die x- Koordinate vom Schnittpunkt zu berechnen, sind beide Geradengleichungen gleich zu setzen. Die Lösung der linearen Gleichung liefert die x- Koordinate vom Geradenschnittpunkt. Setzt man die x- Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, so ist das Ergebnis die y- Koordinate des Schnittpunktes. Damit sind die Koordinaten des Geradebschnittpunktes S eindeutig bestimmt. Es ist egal, in welche der beiden Funktionsgleichungen die x- Koordinate eingesetzt wird. Man sollte die Gleichung nehmen, mit der sich am einfachsten rechnen lässt, z.B. wenn in ihr keine Brüche vorkommen. Soll das Ergebnis kontrolliert werden, so muss die x- Koordinate vom Geradenschnittpunkt in beide Funktionsgleichungen eingesetzt werden. In beiden Fällen muss der Wert der y- Koordinate des Geradenschnittpunktes herauskommen.
  b) Die Schnittpunkte beider Geraden mit der y- Achse können direkt aus den Geradengleichungen abgelesen werden. ys = f(0).
01b_l
  c) Der Schnittpunkt mit der x- Achse ist die Nullstelle. Man berechnet diese, indem die Funktionsgleichung Null gesetzt wird.
01c_l: Rechnung Achsenschnittpunkte von Geraden
  d) 01d_mc_l

2. 02
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird im Punkt S ( 3 | ys ) von der Geraden mit der Funktion f2 (x) rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die vollständigen Koordinaten von S.
  b) Die Funktion f2 (x).
  c) Die Schnittpunkte beider Geraden mit den Koordinatenachsen.
  d) Die Graphen beider Funktionen in D.
  Ausführliche Lösungen
  a) Der Schnittpunkt S (3 | ys) liegt auf beiden Geraden, deshalb kann seine y- Koordinate durch einsetzen in f1(x) berechnet werden.
02a_l: Rechnung y- Koordinate von f(x)
  b) f2(x) ist rechtwinklig zu f1(x) und verläuft durch S (3 | 2).
02b_l: Rechnung Gerade rechtwinklig zu einer anderen durch einen Punkt
Wie gehe ich vor?
Die Steigung der zu f1(x) senkrechten Geraden f2(x) ist der negativ- reziproke Wert des Steigungsfaktors der Geraden f1(x). Das bedeutet im Klartext: Die Steigung der zu f1(x) senkrechten Geraden findet man, indem man den Kehrwert ihres Steigungsfaktors bildet und mit -1 multipliziert. Sollte der Steigungsfaktor von f1(x) eine ganze Zahl sein, ist daraus ein Bruch zu bilden, indem man die Zahl mit dem Nenner 1 vesieht. In die allgemeine Form der Funktionsgleichung von f2(x) trägt man den Steigungsfaktor a12 der zu f1(x) senkrecht verlaufenden Geraden f2(x) ein. Mit den Koordinaten des vorgegebenen Punktes lässt sich die Konstante a02 berechnen. Statt senkrecht zueinander verlaufende Geraden sagt man auch die Geraden sind orthogonal.
  c) Achsenschnittpunkte berechnen:
02c_l: Rechnung Achsenschnittpunkte von Graphen linearer Funktionen
Wie gehe ich vor?
Die y- Koordinate von Py lässt sich aus der Funktionsgleichung ablesen. Den Schnittpunkt mit der x- Achse findet man, indem die Funktionsgleichung Null gesetzt und nach x aufgelöst wird. Der so gefundene x- Wert ist die Nullstelle, an der der Graph die x- Achse schneidet.
  d) 02d_mc_l: Orthogonale Geraden

3. 03
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird im Punkt S ( -4 | ys ) von der Geraden mit der Funktion f2 (x) die die Abszissenachse bei -7 schneidet, geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die vollständigen Koordinaten von S.
  b) Die Funktion f2 (x).
  c) Die Schnittpunkte beider Geraden mit den Koordinatenachsen.
  d) Die Graphen beider Funktionen in D.
  Ausführliche Lösungen
  a) Der Schnittpunkt S (-4 | ys) liegt auf beiden Geraden, deshalb kann seine y- Koordinate durch einsetzen in f1(x) berechnet werden.
03a_l: Rechnung y- Koordinate durch einsetzen in die Funktionsgleichung
  b) f2(x) schneidet die x- Achse bei -7 Px(-7 | 0 ) und verläuft durch S (-4 | 5/2).
03b_l: Rechnung Gerade durch zwei Punkte
Wie gehe ich vor?
Mit den Koordinaten der beiden vorgegebenen Punkte berechnet man den Steigungsfaktor a12 und trägt ihn in die allgemeine Form der Funktionsgleichung ein. Mit den Koordinaten eines der vorgegebenen Punkte lässt sich die Konstante a02 berechnen.
  c) Achsenschnittpunkte:
03c_l: Rechnung Achsenschnittpunkte
  d) 03d_mc_l: Zwei sich schneidende Geraden im zweiten Quadranten

4. Gegeben sind die Punkte P1, P2 und P3 eines Dreiecks. Bestimmen Sie die Funktionen der Dreieckseiten. Fertigen Sie zuvor eine Planskizze an.
  a) 04a b) 04b
  Ausführliche Lösungen
  a) Planskizze:
04a_des_l: Planskizze Dreieck, gebildet durch Geraden
f1(x) wird mit der Methode "Gerade durch zwei Punkte" berechnet.
04a1_l: Rechnung Gerade durch zwei Punkte
f2(x) wird berechnet.
04a2_l: Gerade durch zwei Punkte wird berechnet
f3(x) wird berechnet.
04a3_l
04a_mc_l: Drei Geraden bilden ein Dreieck
  b) Planskizze:
04b_des_l: Planskizze Dreieck, gebildet durch Geraden
f1(x) wird mit der Methode "Gerade durch zwei Punkte" berechnet.
04b1_l: Rechnung Gerade durch zwei Punkte
f2(x) wird berechnet.
04b2_l: Rechnung Gerade durch zwei Punkte
f3(x) wird berechnet.
04b3_l: Rechnung Gerade durch zwei Punkte
04b_mc_l: Drei Geraden bilden ein Dreieck

5. 05
Die Gerade mit der Funktion f1 (x) wird von einer zweiten Geraden mit der Funktion f2 (x), die durch den Punkt P2 geht, im Punkte S rechtwinklig geschnitten. Bestimmen Sie:
  a) Die Steigung a12 von f2 (x).
  b) Die Funktion f2 (x).
  c) Den Schnittpunkt S der beiden Geraden.
  d) Die Achsenschnittpunkte der beiden Geraden.
  e) Die Graphen der beiden Geraden in D.
  Ausführliche Lösungen
  a) Da f2(x) senkrecht zu f1(x) verläuft, gilt für deren Steigung:
05a_l: Rechnung Steigungskoeffizient
  b) Funktionsgleichung berechnen bei vorgegebener Steigung und einem Punkt:
05b_l: Rechnung Funktionsgleichung bei vorgegebener Steigung und einem Punkt
  c) Geradenschnittpunkt:
Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden. Das bedeutet, die Schnittpunktkoordinaten gelten für beide Funktionsgleichungen. Um die x- Koordinate vom Schnittpunkt zu berechnen, sind beide Geradengleichungen gleich zu setzen. Die Lösung der linearen Gleichung liefert die x- Koordinate. Setzt man die x- Koordinate in einer der beiden Funktionsgleichungen ein, so ist das Ergebnis die y- Koordinate des Schnittpunktes. Damit sind die Koordinaten des Geradebschnittpunktes S eindeutig bestimmt.
05c_l: Rechnung Schnittpunkt zweier Geraden
  d) Achsenschnittpunkte berechnen:
05d_l: Rechnung Achsenschnittpunkte von Geraden
  e) 05e_mc_l: Rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden