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Mathematischer
Hintergrund
Potenzen IX (Textaufgaben und Vermischtes)
Ergebnisse und ausführliche Lösungen

Formeln und Erklärungen zu diesem Thema




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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09

Potenzgesetze
  pg_01: Potenzgesetze
  Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
  Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. pg_001: Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen
  Division von Potenzen mit gleichen Basen
  Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert. pg_002: Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleichen Basen
  Multiplikation von Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten
  Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem Exponenten versieht. pg_003: Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten
  Division von Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten
  Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotineten mit dem Exponenten versieht. pg_004: Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten
  Potenzieren von Potenzen
  Potenzen werden potenziert, indem man ihre Exponenten multipliziert. pg_005: Potenzgesertz für das Potenzieren von Potenzen
  Wurzel als Potenz
  Jede Wurzel kann als Potenz mit gebrochenem Exponenten geschrieben werden. pg_006: Wurzel als Potenz geschrieben
  Potenz mit dem Exponenten Null
  Der Potenzwert einer Potenz mit dem Exponenten 0 ist stets 1 pg_007: Potenz mit dem Exponenten Null
  Kehrwert einer Potenz
  Bildet man den Kehrwert einer Potenz, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten. pg_008: Kehrwert einer Potenz

1. Ergebnisse:
  a) 01a_e
  b) 01b_e
  c) 01c_e
  d) 01d_e
  e) 01e_e
  f) 01f_e
  g) 01g_e
  h) 01h_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnis:
  02_e
  Ausführliche Lösung

3. Ergebnis:
  03_e
  Ausführliche Lösung

4. Ergebnisse:
  a) 04a_e b) 04b_e
  Ausführliche Lösung

5. Ergebnisse:
  a) 05a_e b) 05b_e
  Ausführliche Lösung

6. Ergebnis:
  06_e
  Ausführliche Lösung

7. Ergebnis:
  07_e
  Ausführliche Lösung

8. Ergebnis:
  08_e
  Ausführliche Lösung

9. Ergebnis:
  09_e
In 10 Jahren geht der heutige Bestand auf etwa 66,5%, also ungefähr zwei Drittel zurück. Die beiden Aussagen decken sich.
  Ausführliche Lösung

1. Multiplizieren Sie
  a) 01a b) 01b
  c) 01c d) 01d
  e) 01e f) 01f
  g) 01g h) 01h
  Ausführliche Lösungen
  a) 01a_l b) 01b_l
  c) 01c_l d) 01d_l
  e) 01e_l f) 01f_l
  g) 01g_l h) 01h_l

2. Ordnen Sie ohne Verwendung des Taschenrechners der Größe nach
  02
  Ausführliche Lösung
  02_l

3. Welche der folgenden Potenzen stimmen überein?
  03_1
03_2
  Ausführliche Lösung
  03_l

4. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Begründen Sie
  a) 04a
  b) 04b
  Ausführliche Lösungen
  a) 04a_l
ist falsch, da z.B. 0-2 nicht definiert ist, denn lt. Potenzgesetz ist 0-2 = 1/02. Da man aber durch Null nicht teilen darf, ist somit 0-2 nicht definiert. Um eine Aussage zu wiederlegen reicht es aus, ein Gegenbeispiel zu finden.
  b) 04b_l
ist wahr, denn die Basis a ist größer Null und damit ist auch jeder Potenzwert ak größer Null.

5. 05
  a) Schreiben Sie den Term ohne Bruchstrich.
  b) Für welche a, b und n ist der Term definiert?
  Ausführliche Lösungen
  a) 05a_l
  b) 05b_l

6. Bei der Geburt ihrer Tochter legt Frau Weitsicht einmalig 2000 € auf einem Konto an. Sie rechnet mit einer jährlichen Verzinsung von 3,5%. Welche Summe kann die Tochter an ihrem 18. Geburtstag auf dem Konto erwarten?
  Ausführliche Lösung
  Es handelt sich hier um eine Zinseszinsrechnung, für die gilt:
06_1_l
mit
Kn : Kapital nach n Jahren (Endbetrag)
K0 : Anfangskapital (Grundbetrag oder auch Barwert genannt)
q : Zinsfuß und p als Zinsfaktor, sowie mit n als Laufzeit
06_2_l
An ihrem 18. Geburtstag kann die Tochter 3714,98 € erwarten.

7. Ein Ball fällt aus 4,5 m Höhe auf den Boden. Nach jeder Bodenberührung erreicht er noch 75% seiner jeweiligen Ausgangshöhe. Wie hoch springt der Ball noch nach 6 Bodenkontakten?
  Ausführliche Lösung
  Ausgangshöhe h0 = 4,5 m.
Die Höhe nach dem 1. Bodenkontakt ist nur noch 75% der Ausgangshöhe.
07_1_l
Die Höhe nach dem 2. Bodenkontakt ist nur noch 75% von h1.
07_2_l
Die Höhe nach dem 6. Bodenkontakt ist demnach
07_3_l
Nach dem 6. Bodenkontakt springt der Ball noch etwa 0,8 m hoch.

8. Nehmen Sie Stellung zu folgenden Behauptungen
  08
  Ausführliche Lösung
  08_1_l
Falls a > 0 ist, ist auch an > 0.
08_2_l
Um eine Aussage zu wiederlegen, reicht es in vielen Fällen aus, mindestens ein Gegenbeispiel zu finden.

9. Tierschützer befürchten, dass die Population einer seltenen Tierart in den nächsten 10 Jahren auf zwei Drittel ihres heutigen Bestandes zurückgeht. Ein Forscher behauptet, dass diese Population jährlich um 4 % abnimmt. Decken sich die beiden Aussagen?
  Ausführliche Lösung
  Ein Rückgang der Population um 4% pro Jahr bedeutet:
09_l
In 10 Jahren geht der heutige Bestand auf etwa 66,5%, also ungefähr zwei Drittel zurück. Die beiden Aussagen decken sich.