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Mathematischer
Hintergrund
Polynomgleichungen VI
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

1. Ergebnisse
  a) 01a_e
  b) 01b_e
  c) 01c_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse
  a) 02a_e
  b) 02b_e
  c) 02c_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  c) 03c_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse
  a) 04a_e
  b) 04b_e
  c) 04c_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnisse
  a) 05a_e
  b) 05b_e
  c) 05c_e
  Ausführliche Lösungen

6. Ergebnis
  06_e
  Ausführliche Lösung

7. Ergebnis
  07_e
  Ausführliche Lösung

8. Ergebnis
  08_e
  Ausführliche Lösung

9. Ergebnis
  09_e
  Ausführliche Lösung

10. Ergebnis
  10_e
  Ausführliche Lösung

11. Ergebnis
  11_e
  Ausführliche Lösung

12. Ergebnis
  Gleichung 4. Grades mit vier Lösungen:
12_1_e
Gleichung 4. Grades mit drei Lösungen:
12_2_e
Gleichung 4. Grades mit zwei Lösungen:
12_3_e
Gleichung 4. Grades mit einer Lösung:
12_4_e
  Ausführliche Lösung

1a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
01a
  Ausführliche Lösung
  01a_l
  Aus der Polynomgleichung kann x2 ausgeklammert werden. Es entsteht ein Produkt. Da dieses aber Null ist, kann der Satz vom Nullprodukt angewendet werden, der da lautet:
"Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist."
Die Lösung der Gleichung findet man also dadurch, dass man jeden Faktor für sich gleich Null setzt. Der erste Faktor ergibt die doppelte Lösung 0. Der zweite Faktor ist eine quadratische Gleichung, die mit der p-q-Formel zu lösen ist. In der Lösungsmenge erscheint die doppelte 0 nur einmal, da in der Mengendarstellung per Definition jedes Element nur einmal vorkommen darf.

1b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
01_1b
  Ausführliche Lösung
  01b_l
  Die Polynomgleichung kann nach ausklammern von k durch k dividiert werden, da k per Definition ungleich Null ist. Damit hat k keinen Einfluss auf die Lösung. x2 lässt sich ebenfalls ausklammern, so dass die Lösungen nach dem Satz vom Nullprodukt bestimmt werden können.

1c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
01c
  Ausführliche Lösung
  01c_l

2a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
02a
  Ausführliche Lösung
  02a_l
  Die Polynomgleichung stellt eine biquadratische Gleichung dar. Die Substitutionsvariable z lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen. Anschließend muss zurücksubstituiert und die Wurzel gezogen werden. Die Wurzel lässt sich nur für positive z-Werte lösen.

2b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
02b
  Ausführliche Lösung
  02b_l

2c Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
02c
  Ausführliche Lösung
  02c_l
  Nach der Rücksubstitution kann man den Term mit Hilfe der binomischen Formeln in ein Quadrat verwandeln, aus dem die Wurzel gezogen werden kann.

3a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
03a
  Ausführliche Lösung
  03a_l

3b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
03b
  Ausführliche Lösung
  03b_l

3c Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
03c
  Ausführliche Lösung
  03c_l

4a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
04a
  Ausführliche Lösung
  04a_l
  Der Term kann als Produkt zweier Faktoren geschrieben werden. Da beide Faktoren gleich sind, genügt es nur einen davon gleich Null zu setzen, da der andere Faktor die gleiche Lösung hat. Damit hat die Polynomgleichung insgesamt zwei Lösungen, die doppelt auftreten.

4b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
04b
  Ausführliche Lösung
  04b_l

4c Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
04_1_c
  Ausführliche Lösung
  04c_l
  Der Term kann als Produkt zweier Faktoren geschrieben werden. Da beide Faktoren gleich sind, genügt es nur einen davon gleich Null zu setzen, da der andere Faktor die gleiche Lösung hat. Damit hat die Polynomgleichung insgesamt zwei Lösungen, die doppelt auftreten. Da per Definition die Formvariable k > 0 sein soll, gilt die Lösung für jeden Wert von k, solange er größer als Null ist.

5a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
05a
  Ausführliche Lösung
  05a_l

5b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
05_1_b
  Ausführliche Lösung
  05b_l

5c Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
05_1_c
  Ausführliche Lösung
  05c_l
  Es gibt für die Polynomgleichung nur zwei Lösungen. Für z2 = -2k gibt es keine Lösung, da der Wert für alle k > 0 negativ ist. Aus einer negativen Zahl lässt sich keine Wurzel ziehen.

6 Für welchen Wert von k hat die Gleichung
06
Berechnen Sie für diesen Fall die weiteren Lösungen.
  Ausführliche Lösung
  06_l
  Da die Lösung x = 1 bekannt ist, kann man mit dem Horner-Schema den Wert für k bestimmenn. Die letzte Spalte im Horner-Schema muss in der Addition Null ergeben, damit x = 1 Lösung der Polynomgleichung ist. Aus der Addition ergibt sich für k der Wert k = 4. Setzt man für k die 4 in die Polynomgleichung ein, kann man sie als biquadratische Gleichung lösen.

7 Für welchen Wert von k hat die Gleichung
07
Berechnen Sie für diesen Fall die weiteren Lösungen.
  Ausführliche Lösung
  07_l

8 08
  Ausführliche Lösung
  08_l
  Die Diskriminante D ist für jeden Wert von k negativ, da k als Quadrat auftritt.
Wenn die Gleichung in z keine Lösung hat, dann hat sie auch keine in x.

9 09
  Ausführliche Lösung
  09_l

10 10
  Ausführliche Lösung
  10_l
  Der Nenner des Bruches darf nicht 0 werden. Damit scheidet k = 1 aus. Weiterhin darf der Bruch nicht negativ werden, denn die 4. Wurzel ist nur für positive Zahlen definiert. Der Zähler ist wegen k2 immer positiv. Damit der Bruch positiv ist, muss k > 1 sein.

11 11
Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von k.
  Ausführliche Lösung
  11_l
  Es gibt für alle Werte von k immer 3 Lösungen.

12 Geben Sie eine Gleichung 4. Grades an, die jeweils vier, drei, zwei bzw. eine Lösung besitzt.
  Ausführliche Lösung
  Die Kombination von Linearfaktoren liefert die jeweils gewünschte Gleichung.
  Vier Lösungen:
12_1_l
3 Lösungen:
12_2_l
2 Lösungen:
12_3_l
1 Lösung:
12_4_l