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Mathematischer
Hintergrund
Polynomgleichungen III
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

1. Bestimmen Sie a so, dass die Gleichung
(ax - 1)(x + 2)(x - 1/2) = 0
genau zwei Lösungen hat.
  Ergebnis
  (ax - 1)(x + 2)(x - 1/2) = 0 hat genau zwei Lösungen für a = 0 ; a = -1/2 ; a = 2
  Ausführliche Lösungen

2. Eine Gleichung 3. Grades hat genau die beiden Lösungen L = { 2 ; -4 }
  a) Machen Sie Aussagen über die Art der Lösungen.
  b) Geben Sie zwei Gleichungen mit diesen Lösungen an.
  Ergebnisse
  a) Eine Lösung ist jeweils doppelt.
  b) 02b_l
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse
  a) 04a_e
  b) 04b_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnisse
  a) 05a_e
  b) 05b_e
  Ausführliche Lösungen

6. Ergebnisse
  a) 06a_e
  b) 06b_e
  Ausführliche Lösungen

7. Ergebnisse
  a) 07a_e
  b) 07b_e
  Ausführliche Lösungen

8. Ergebnisse
  a) 08a_e
  b) 08b_e
  Ausführliche Lösungen

9. Ergebnisse
  a) 09a_e
  b) 09b_e
  Ausführliche Lösungen

10. Ergebnisse
  a) 10a_e
  b) 10b_e
  Ausführliche Lösungen

11. Ergebnisse
  a) 11a_e
  b) 11b_e
  Ausführliche Lösungen

1 Bestimmen Sie a so, dass die Gleichung
(ax - 1)(x + 2)(x - 1/2) = 0
genau zwei Lösungen hat.
  Ausführliche Lösung
  Wie man aus den Linearfaktoren ablesen kann, hat die Polynomgleichung auf jeden Fall zwei Lösungen:
x1 = -2 und x2 = 1/2. Der Faktor a ist so zu bestimmen, dass keine neue Lösung hinzu kommen kann. Das ist dann der Fall, wenn es entweder bei den zwei Lösungen bleibt oder jeweils eine der vorhandenen Lösungen als Doppellösung dazu kommt.
Falls a = 0 ist, gilt: (- 1)(x + 2)(x - 1/2) = 0. In dem Fall bleiben die Lösungen unverändert.
  Ansatz für eine dazukommende Doppellösung:
01_l

2. Eine Gleichung 3. Grades hat genau die beiden Lösungen L = { 2 ; -4 }
  a) Machen Sie Aussagen über die Art der Lösungen.
  b) Geben Sie zwei Gleichungen mit diesen Lösungen an.
  Ausführliche Lösungen
  a) Polynomgleichungen 3. Grades haben mindestens eine reelle Lösung. Die beiden weiteren Lösungen sind beide reell oder beide komplex. Da wir nur die reellen Lösungen betrachten wollen, bedeutet das für vorliegende Aufgabe, die genau zwei Lösungen haben soll, dass eine davon doppelt sein muss.
  b) Sind für eine Polynomgleichung die Lösungen vorgegeben, so lassen sich über die Kombination von Linearfaktoren Gleichungen mit den gewünschten Eigenschaften konstruieren.
02b_l

3a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
03a
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x ausgeklammert werden. Es entsteht ein Produkt. Da dieses aber Null ist, kann der Satz vom Nullprodukt angewendet werden, der da lautet:
"Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist."
Die Lösung der Gleichung findet man also dadurch, dass man jeden Faktor für sich gleich Null setzt.
  03a_l

3b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
03b
  Ausführliche Lösung
  Um eine Lösung durch raten oder probieren zu finden, kann man entweder den Taschenrechner benutzen oder das Horner-Schema verwenden. Hat man eine Lösung für x z.B. mit dem Taschenrechner gefunden, so muss man auf jeden Fall die Polynomdivision durchführen um das Restpolynom zu finden. Hat man hingegen mit dem Horner-Schema einen Lösungswert für x gefunden, so lässt sich aus den Koeffizienten das Restpolynom bilden. Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Durch raten erhält man die Lösung x = -1.
  03b_l

4a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
04a
  Ausführliche Lösung
  Durch raten erhält man die Lösung x = 2.
04a_l
Die erste Zeile im Horner-Schema muss n + 1 Koeffizienten der Polynomgleichung enthalten, wenn der Polynomgrad n ist. Im obigen Beispiel fehlt in der Polynomgleichung der Summand mit dem Exponenten 1 also das x. Im Horner-Schema muss diese Stelle mit 0 aufgefüllt werden. Das Restpolynom hat keine Lösung, da die Diskriminante D < 0 ist.

4b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
04b
  Ausführliche Lösung
  Durch raten erhält man die Lösung x = 1.
04b_l
x = 1 ist doppelte Lösung, in der Lösungsmenge L tritt sie aber nur einmal auf.

5a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
05a
  Ausführliche Lösung
  Durch raten und probieren erhält man die Lösung x = 1.
05a_l
Um die quadratische Gleichung lösen zu können muss im Restpolynom durch ausklammern ein gemeinsamer Faktor für x gebildet werden, der das p für die p-q-Formel darstellt. Bei der weiteren Rechnung sollte man sicher in der Anwendung der binomischen Formeln sein.

5b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
05b
  Ausführliche Lösung
  Durch raten und probieren erhält man die Lösung x = 1.
05b_l
Zur Lösung der quadratischen Gleichung leistet der Taschenrechner gute Dienste.

6a Lösen Sie die Gleichung nach u auf.
06a
  Ausführliche Lösung
  Durch raten und probieren erhält man die Lösung u = 3/2.
06a_l
Es ist nicht immer einfach die erste Lösung durch raten und probieren zu finden. Teiler vom Absolutglied führen jedoch häufig zum Ziel (hier 3/2). Die Variable in der Gleichung muss auch nicht immer x sein, sie kann auch wie hier u genannt werden.

6b Lösen Sie die Gleichung nach a auf.
06b
  Ausführliche Lösung
  Durch raten und probieren erhält man die Lösung a = 1.
06b_l

7a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
07a
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x ausgeklammert werden. Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt.
  07a_l
Beim quadrieren von p/2 kann das negative Vorzeichen vor der Klammer ignoriert werden, denn das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv. Der Ausdruck der Diskriminante lässt sich mit der 2. binomischen Formel in ein Quadrat verwandeln, so dass die Wurzel der Diskriminante im Kopf lösbar ist.

7b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
07b
  Ausführliche Lösung
  Lösung nach dem Satz vom Nullprodukt.
07b_l

8a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
08a
  Ausführliche Lösung
  Durch raten und probieren erhält man die Lösung x = -1.
08a_l

8b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
08b
  Ausführliche Lösung
  08b_l

9a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
09a
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x ausgeklammert werden. Es entsteht ein Produkt. Da dieses aber Null ist, kann der Satz vom Nullprodukt angewendet werden.
  09a_l

9b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
09b
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x2 ausgeklammert werden. Lösung nach dem Satz vom Nullprodukt.
09b_l

10a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
10a
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x ausgeklammert werden. Lösung nach dem Satz vom Nullprodukt.
  10a_l

10b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
10b
  Ausführliche Lösung
  Durch raten erhält man die Lösung x = 2.
10b_l

11a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
11a
  Ausführliche Lösung
  Durch raten erhält man die Lösung x = -1.
  11a_l

11b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
11b
  Ausführliche Lösung
  Lösung nach dem Satz vom Nullprodukt.
11b_l