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Mathematischer
Hintergrund
Lineare Gleichungen III (mit Sachaufgaben)
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

1. Ergebnisse:
  a) 01a_e
  b) 01b_e
  c) 01c_e
  d) 01d_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse:
  a) 02a_e
  b) 02b_e
  c) 02c_e
  d) 02d_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnis:
  03_e
Die Geschwister sind 12, 6 und 3 Jahre alt.
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnis:
  04_e
Der Behälter wird in 6 Minuten gefüllt.
  Ausführliche Lösung

5. Ergebnis:
  Lösung mittels Dreisatz.
05_e
Das Schiff wird in 3 Tagen gelöscht.
  Ausführliche Lösung

6. Ergebnis:
  06_e
Der Sohn ist 30 Jahre alt, der Vater ist 60 Jahre alt.
  Ausführliche Lösung

7. Ergebnis:
  07_e
A hat 200,- €, B hat 100,- €, und C hat 50,- € gespart.
  Ausführliche Lösung

8. Ergebnis:
  08_e
Die Rechteckseiten betragen 8 cm und 4 cm.
  Ausführliche Lösung

9. Ergebnis:
  09_e
Die Quadratseite ist 15 cm lang.
  Ausführliche Lösung

10. Ergebnis:
  10_e
Der Tank ist in 144 Minuten gefüllt.
  Ausführliche Lösung

11. Ergebnis:
  11_e
Sie treffen sich nach 21 Minuten.
  Ausführliche Lösung

1. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge.
  a) 01a b) 01b
  c) 01c d) 01d
  Ausführliche Lösungen
  a) 01a_l
  b) 01b_l
  c) 01c_l
  d) 01d_l

2. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge.
  a) 02a b) 02b
  c) 02c d) 02d
  Ausführliche Lösungen
  a) 02a_l
  b) 02b_l
  c) 02c_l
  d) 02d_l

3. Drei Geschwister sind zusammen 21 Jahre alt. A ist doppelt so alt wie B und C ist nur halb so alt wie B. Wie alt ist jedes der Geschwister?
  Ausführliche Lösung
  Ansatz:
Drei Geschwister sind zusammen 21 Jahre alt:
A + B + C = 21 (1)
A ist doppelt so alt wie B:
A = 2B (2)
C ist nur halb so alt wie B:
C = B/2 (3)
Damit ist die Unbekannte die Variable B.
Aus Gleichung (1) wird nun:

03_l

Aus (2) und (3) ergibt sich somit:
A = 2B = 12. B = 6 wurde berechnet. C = B/2 = 3
Die Geschwister sind 12, 6 und 3 Jahre alt.

4. Ein Behälter kann durch zwei Zuflussröhren gefüllt werden. Die erste füllt ihn in 10 min und die zweite in 15 min. In wie viel Minuten wird er gefüllt, wenn beide Röhren gleichzeitig in Betrieb sind?
  Ausführliche Lösung
  Ansatz:
Das erste Rohr füllt den Behälter in einer Minute 1/10.
Das zweite Rohr füllt den Behälter in einer Minute 1/15.
Gesucht ist die Zeit in Minuten, also die Variable x.

04_l

Der Behälter wird in 6 Minuten gefüllt.

5. Ein Schiff wird von 9 Schauerleuten in 5 Tagen gelöscht. Wie viel Tage würden 15 Schauerleute bei gleicher Arbeitsleistung benötigen?
  Ausführliche Lösung
  Lösung mittels Dreisatz:
05_l

Das Schiff wird in 3 Tagen gelöscht.

6. Wie alt sind Vater und Sohn, wenn der Vater heute doppelt so alt ist und vor 15 Jahren dreimal so alt war wie sein Sohn?
  Ausführliche Lösung
  Der Vater sei heute y Jahre und der Sohn x Jahre alt.
Der Vater ist heute doppelt so alt wie der Sohn:
y = 2x
Vor 15 Jahren war der Vater 3 mal so alt wie damals sein Sohn:

06_l

Die Variable x steht für das Alter des Sohnes.
Der Sohn ist 30 Jahre alt, der Vater ist 60 Jahre alt.

7. Drei Freunde haben zusammen 350 € gespart. A hat doppelt so viel wie B und C nur halb so viel wie B gespart. Wie viel € hat jeder gespart?
  Ausführliche Lösung
  Ansatz:
Drei Freunde haben zusammen 350 €:
A + B + C = 350 (1)
A hat doppelt soviel wie B:
A = 2B (2)
C hat die Hälfte von B:
C = B/2 (3)
Die Gleichung wird so aufgestellt, dass B die Lösungsvariable ist.

07_l

A = 2B = 200 €, B = 100 €, C = B/2 = 50 €.
A hat 200,- €, B hat 100,- €, und C hat 50,- € gespart.

8. Wie groß sind die Seiten eines Rechtecks, dessen Umfang 24 cm beträgt, wenn die eine Seite doppelt so groß ist wie die andere?
  Ausführliche Lösung
  Ansatz:
Umfang eines Rechtecks ist:
U =2a + 2b = 24
Eine Seite ist doppelt so groß wie die andere:
a = 2b
Damit lässt sich folgende Gleichung aufstellen:

08_l

Die Seite b ist 4 cm lang. Wegen a = 2b ist die Seite a 8 cm lang.
Die Rechteckseiten betragen 8 cm und 4 cm.

9. Wird die eine Seite eines Quadrates um 6 cm verkleinert und die andere um 5 cm vergrößert, dann ist der Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks um 45 cm2 kleiner als der des Quadrates. Wie groß ist die Seite des Quadrates?
  Ausführliche Lösung
  Ansatz:
Der Flächeninhalt eines Quadrates ist:
AQ = a2
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist:
AR = ab
Quadratseite a wird um 4 cm verringert und soll im Rechteck a sein:
a - 4
Quadratseite a wird um 5 cm verlängert und soll im Rechteck b sein:
Die Rechteckfläche ist um 45 cm2 kleiner als die Quadratfläche:
AR = AQ - 45
Die Lösungsvariable ist a. Damit wird folgende Gleichung aufgestellt:

09_l

Da die Variable a für die Quadratseite steht, gilt:
Die Quadratseite ist 15 cm lang.

10. Ein Tank hat zwei Zuflussrohre A und B und ein Abflussrohr C. A füllt den Tank allein in 80 min, B allein in 90 min. Durch C allein kann der Tank in 60 min geleert werden. In welcher Zeit ist der Tank gefüllt, wenn alle drei Rohre zugleich in Tätigkeit sind?
  Ausführliche Lösung
  Ansatz:
Das erste Rohr (A) füllt den Tank in einer Minute 1/80.
Das zweite Rohr (B) füllt den Tank in einer Minute 1/90.
Das dritte Rohr (C) entleert den Tank in einer Minute 1/60.
Gesucht ist die Zeit in Minuten, in der der Tank gefüllt wird also die Variable x.

10_l

Der Tank ist in 144 Minuten gefüllt.

11. Zwei Autofahrer A und B fahren täglich mit dem Wagen zur Arbeit. A legt in der Stunde durchschnittlich 54 km, B 72 km zurück. Wie viel Minuten nach Aufbruch von B werden sie sich treffen, wenn A 7 min früher losfährt und beide den gleichen Weg fahren?
  Ausführliche Lösung
  Ansatz:
Da nach Minuten gefragt ist, die Geschwindigkeit aber in km/h gegeben ist, wird diese in km/Minute umgerechnet:
Autofahrer A fährt mit der Geschwindigkeit
VA = 54/60 = 0,9 (in km/Minute)
Autofahrer B fährt mit der Geschwindigkeit
VB = 72/60 = 1,2 (in km/Minute)
Gesucht ist die Fahrzeit in Minuten von Fahrer B also tB
Da Fahrer A 7 Minuten vor B startet, ist dieser bis zum Treffpunkt 7 Minuten länger unterwegs also tB +7.
Der Weg zum Treffpunkt ist für beide gleich.

11_l

Sie treffen sich nach 21 Minuten.