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Mathematischer
Hintergrund
Exponentialgleichungen V
Ergebnisse und ausführliche Lösungen




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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08

  Wie gehe ich vor?
Wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Exponentialgleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben, dann ist eine Lösung mittels Exponentialvergleich möglich.
In vielen Fällen führt der Ansatz über das Logarithmieren zum Erfolg.
Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.

Logarithmus eines Produktes
  Logarithmus eines Produktes Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.
Beispiel zum Logarithmus zur Basis e:
Beispiel zum Logarithmus zur Basis e
Logarithmus eines Quotienten
  Logarithmus eines Quotienten Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend (Zähler) und Divisor (Nenner).
Beispiel zum Logarithmus zur Basis e:
lg_02_b
Logarithmus einer Potenz
  Logarithmus einer Potenz Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarithmus der Basis multipliziert mit dem Exponenten.
Beispiel zum Logarithmus zur Basis e:
lg_03_b
Logarithmus von der Basis
  Logarithmus von der Basis Der Logarithmus zur Basis a von der Basis a ist 1.
Beispiel zum Logarithmus zur Basis e:
lg_04_b
Logarithmus von der Zahl 1
  Logarithmus von der Zahl 1 Der Logarithmus der Zahl 1 ist in jedem Logarithmensystem gleich Null.
Die wichtigsten Potenzgesetze
  Die wichtigsten Potenzgesetze
Logarithmus im Exponenten
  Logarithmus im Exponenten Vielfach sind für Termumformungen nebenstehende Beziehungen nützlich
Umrechnung von einem Logarithmensystem in ein anderes
  Umrechnung von einem Logarithmensystem in ein anderes

1. Ergebnisse:
  a) 01a_e
  b) 01b_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse:
  a) 02a_e
  b) 02b_e
  c) 02c_e
  d) 02d_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse:
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  c) 03c_e
  d) 03d_e
  e) 03e_e
  f) 03f_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse:
  a) 04a_e
  b) 04b_e
  c) 04c_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnisse:
  a) 05a_e
  b) 05b_e
  c) 05c_e
  d) 05d_e
  e) 05e_e
  f) 05f_e
  Ausführliche Lösungen

6. Ergebnisse:
  a) 06a_e
  b) 06b_e
  c) 06c_e
  d) 06d_e
  e) 06e_e
  f) 06f_e
  Ausführliche Lösungen

7. Ergebnisse:
  a) 07a_e
  b) 07b_e
  c) 07c_e
  d) 07d_e
  e) 07e_e
  f) 07f_e
  Ausführliche Lösungen

8. Ergebnisse:
  a) 08a_e
  b) 08b_e
  c) 08c_e
  d) 08d_e
  e) 08e_e
  f) 08f_e
  Ausführliche Lösungen

1. Lösen Sie die Gleichungen
  a) 01a b) 01b
  Ausführliche Lösungen
  a) 01a_l
  b) 01b_l: Exponentialgleichung, Lösung durch Substitution

2. Lösen Sie die Gleichungen
  a) 02a b) 02b
  c) 02c d) 02d
  Ausführliche Lösungen
  a) 02a_l b) 02b_l
  c) 02c_l
  d) 02d_l Lösungsweg:

Nach einfacher algebraischen Umformung (Multiplikation mit -5/2) werden die beiden Summanden getrennt, so dass auf jeder Seite der Gleichung logarithmiert werden kann. Durch Logarithmieren mit dem Logarithmus zur Basis e (auch Logarithmus naturalis genannt), entsteht eine Gleichung mit der Variablen x, bei der x nicht mehr im Exponenten vorhanden ist. Die Lösung erhält man, indem die Gleichung nach der Variablen x umgeformt wird.

3. Lösen Sie die Gleichungen
  a) 03a b) 03b c) 03c
  d) 03d e) 03e f) 03f
  Ausführliche Lösungen
  a) 03a_l
  b) 03b_l
  c) 03c_l: Exponentialgleichung, Lösung durch logarithmieren Lösungsweg:

Die Gleichung wird so umgeformt, dass auf jeder Seite nur Potenzen mit gleichen Basen stehen.

Potenzgesetz:
Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Anwendung des Gesetzes führt dazu, dass es nur noch die Basen 2 und 3 mit dem Exponenten x gibt.

Potenzgesetz:
Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

Logarithmieren beider Seiten führtzum Ergebnis.
  d) 03d_l
  e) 03e_l Lösungsweg:

Dezimalzahlen werden in Brüche verwandelt.

Potenzgesetz:
Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Anwendung des Gesetzes führt dazu, dass die Potenz zur Basis 2 nur noch die Variable x im Exponenten hat.

Anwendung der Regel für negative Exponenten.
  f) 03f_l

4. Für welche Werte von k hat die Gleichung eine Lösung?
  a) 04a b) 04b c) 04c
  Ausführliche Lösungen
  a) 04a_l b) 04b_
  c) 04c_l Lösungsweg:

Die Potenzen zur Basis e werden auf unterschiedliche Seiten der Gleichung gebracht, damit die Gleichung logarithmierbar wird. Anwendung der Logarithmengesetze führt zu einer Gleichung in x.

5. Lösen Sie die Gleichungen
  a) 05a b) 05b c) 05c
  d) 05d e) 05e f) 05f
  Ausführliche Lösungen
  a) 05a_l b) 05b_l
  c) 05c_l d) 05d_l
  e) 05e_l
  f) 05f_l

6. Lösen Sie die Gleichungen
  a) 06a b) 06b c) 06c
  d) 06d e) 06e f) 06f
  Ausführliche Lösungen
  a) 06a_l b) 06b_l
  c) 06c_l d) 06d_l
  e) 06e_l f) 06f_l

7. Lösen Sie die Gleichungen
  a) 07a b) 07b c) 07c
  d) 07d e) 07e f) 07f
  Ausführliche Lösungen
  a) 07a_l b) 07b_l
  c) 07c_l
  d) 07d_l Lösungsweg:

Die Summanden werden getrennt. Die Bruchgleichung wird mit dem Nenner der rechten Seite multipliziert. So entsteht eine Gleichung ohne Brüche. Umformen und logarithmieren führt zum Ergebnis.
  e) 07e_l
  f) 07f_l Lösungsweg:

Zweifache Multiplikation mit dem Nenner der linken Seite lässt den Bruchterm verschwinden. Bei der algebraischen Umformung ist darauf zu achten, dass der Bruchstrich die Klammer ersetzt.

Ausmultiplizieren und weitere algebraische Umformungen führen zu einer Gleichung, die sich leicht logarithmieren lässt.

8. Lösen Sie die Gleichungen
  a) 08a b) 08b c) 08c
  d) 08d e) 08e f) 08f
  Ausführliche Lösungen
  a) Lösungsweg:

Multiplikation mit dem Nenner der linken Seite lässt den Bruchterm verschwinden.
  b) 08b_l
  c) 08c_l Lösungsweg:

Die Definitionsmenge ist eingeschränkt, da der Nenner der linken Seite nicht Null werden darf.

Multiplikation mit dem Nenner der linken Seite lässt den Bruchterm verschwinden.

Algebraische Umformungen ermöglichen das Logarithmieren.
  d) 08d_l
  e) 08e_l f) 08f_l