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Mathematischer
Hintergrund
Bruchgleichungen I
Ergebnisse und ausführliche Lösungen
zm_121




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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09

Bemerkung zur Definitionsmenge:
Die Definitionsmenge enthält alle Werte der Variablen x, für die die Gleichung gültig ist. Da der Nenner eines Bruches nie Null werden darf, ist zur Bestimmung der Definitionsmenge zu untersuchen, für welche Werte der Variablen x der Nenner Null wird.
Beispiele für die Definitionsmenge von Bruchgleichungen:
Beispiel 1:
bsp_01
Die Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, außer der Null.
Beispiel 2:
bsp_02
Die Bruchgleichung ist gültig für alle Werte der Variablen x, außer der 7.
Denn für x = 7 wird der Nenner Null.
Beispiel 3:
bsp_03
Im 1. Bruch wird der Nenner für x = -2 Null.
Im 2. Bruch wird der Nenner für x = 4/5 Null.
Der Trick mit der Multiplikation über Kreuz:
bsp_04

1. Ergebnisse:
  a) 01a_e
  b) 01b_e
  c) 01c_e
  d) 01d_e
  e) 01e_e
  f) 01f_e
  g) 01g_e
  h) 01h_e
  i) 01i_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse:
  a) 02a_e
  b) 02b_e
  c) 02c_e
  d) 02d_e
  e) 02e_e
  f) 02f_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnis:
  03_e
  Ausführliche Lösung

4. Ergebnisse:
  a) 04a_e
  b) 04b_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnis:
  05_e
  Ausführliche Lösung

6. Ergebnis:
  06_e
  Ausführliche Lösung

7. Ergebnis:
  Der kleine LKW allein braucht 45 Fahrten und hat eine Ladekapazität von 9 m3.
Der große LKW allein braucht 36 Fahrten und hat eine Ladekapazität von 11,25 m3.
  Ausführliche Lösung

8. Ergebnis:
  Die natürliche Zahl lautet n = 12.
  Ausführliche Lösung

9. Ergebnisse:
  a) 09a_e
  b) 09b_e
  Ausführliche Lösungen

1. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie die Gleichungen.
  a) 01a b) 01b c) 01c
  d) 01d e) 01e f) 01f
  g) 01g h) 01h i) 01i
  Ausführliche Lösungen
  a) 01a_l
  b) 01b_l
  c) 01c_l
  d) 01d_l
  e) 01e_l
  f) 01f_l
  g) 01g_l
  h) 01h_l
  i) 01i_l

2. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie die Gleichungen.
  a) 02a b) 02b c) 02c
  d) 02d e) 02e f) 02f
  Ausführliche Lösungen
  a) 02a_l
Diese Gleichung hat unendlich viele Losungen, denn die Gleichheitsbedingung ist für jedes x der Definitionsmenge erfüllt.
  b) 02b_l
Tritt bei der Äquivalenzumformung ein Widerspruch auf, so hat die Gleichung keine Lösung.
  c) 02c_l
  d) 02d_l
  e) 02e_l
  f) 02f_l

3. Überprüfen Sie folgende Behauptung?
  03
  Ausführliche Lösung
  03_1_l
Hier geht es nicht darum die Gleichung zu lösen, sondern zu überprüfen ob die Behauptung richtig ist. Die Gleichung selber kann bekanntlich eine, mehrere, keine oder unendlich viele Lösungen besitzen. Bei Betrachtung der Definitionsmenge fällt auf, dass diese falsch ist.
03_2_l

4. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie die Gleichungen.
  a) 04a b) 04b
  Ausführliche Lösungen
  a) Die Besonderheit solcher Gleichungen besteht darin, dass sie eine Formvariable enthält. In diesem Fall u. Man kann sich u als Platzhalter für irgend eine Zahl vorstellen, die in die Gleichung eingesetzt werden kann. Die Formvariable u wird auch Parameter genannt. Die Variable, nach der die Gleichung aufzulösen ist, bleibt die Unbekannte x.
04a_l
  b) 04b_l

5. Zeigen Sie:
  05
  Ausführliche Lösung
  05_l
Damit hat auch die Ausgangsgleichung keine Lösung. Was zu zeigen war.

6. Lösen Sie das Gleichungssystem:
  06
  Ausführliche Lösung
  06_l

7. Ein kleiner LKW fährt einen Aushub von 405 m3 in x Fahrten zur Deponie. Ein großer LKW braucht dazu 9 Fahrten weniger. Zusammen schaffen beide LKW's den Aushub in je 20 Fahrten. Wie viel Fahrten braucht jeder LKW alleine und welche Ladekapazität hat jeder?
  Ausführliche Lösung
  Der kleine LKW benötigt für 405 m3 x Fahrten.
Der große LKW benötigt dafür 9 Fahrten weniger, also x - 9 Fahrten.
07_l
Der kleine LKW allein benötigt 45 Fahrten.
Der große LKW allein benötigt 45 - 9 = 36 Fahrten.
Das Ladevermögen des kleinen LKW's beträgt 405 m3 / 45 = 9 m3.
Das Ladevermögen des großen LKW's beträgt 405 m3 / 36 = 11,25 m3.

Die Zweite Lösung der quadratischen Gleichung macht im Zusammenhang mit der Aufgabenstellung keinen Sinn, denn beide LKW's zusammen machen schon 20 Fahrten.

8. Welche natürliche Zahl(en) kann man zum Zähler von 2/5 addieren und gleichzeitig vom Nenner subtrahieren um -2 zu erhalten?
  Ausführliche Lösung
  08_l
Die natürliche Zahl lautet n = 12.

9. 09
  a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge.
  b) Ersetzen Sie 3/2 durch eine andere Zahl so, dass die sonst unveränderte Gleichung die Lösung x = - 1 hat.
  Ausführliche Lösung
  a) 09a_l
  b) 09b_l