Casio fx-CG20
Binomialverteilung, Intervallwahrscheinlichkeit,
Normalverteilung und Grenzen
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Intervallwahrscheinlichkeit

Ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p, wird durch eine Binomialverteilung dargestellt.
Der Erwartungswert, ist die Anzahl der Erfolge mit der größten Wahrscheinlichkeit.
Wird beispielsweise ein Würfel n = 600 mal geworfen, so erwartet man k = 100 mal die Zahl 6.
Die Zahl 6 kann bei 600 Versuchen auch k = 0 mal oder k = 600 mal auftreten.
Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind verschwindend gering.

Ein Würfel wird n = 600 mal geworfen, die Zahl 6 zählt als Erfolg mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen genau k = 100 mal die 6 geworfen wird?

Berechne
f_0181
Anzeige auf dem Display:

BinomialPD(100,600,1/6)

0.04366432132

Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass bei 600 Würfen genau 100 mal die Zahl 6 geworfen wird,
beträgt etwa 0,043...

Allgemein gilt für [ 0 ====== ][ k ][ ====== n ]:
f_0182
wobei k die Anzahl der Erfolge, n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen höchstens k = 100 mal die 6 geworfen wird?

Berechne
f_0183
Anzeige auf dem Display:

BinomialCD(100,600,1/6)

0.5266726941

Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass bei 600 Würfen höchstens 100 mal die Zahl 6 geworfen wird,
beträgt etwa 0,526...

Allgemein gilt für [ 0 ====== k ][ ====== n ]:
f_0184
wobei k die Anzahl der Erfolge, n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.
Hierbei handelt es sich um die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen mindestens k = 100 mal die 6 geworfen wird?

Berechne
f_0185
Anzeige auf dem Display:

1 - BinomialCD(99,600,1/6)

0.5169916272

Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass bei 600 Würfen mindestens 100 mal die Zahl 6 geworfen wird,
beträgt etwa 0,516...

Allgemein gilt für [ 0 ====== ][ k ====== n ]:
f_0186
wobei k die Anzahl der Erfolge,
n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen die Anzahl der 6-er zwischen 90 und 110 (einschließlich) liegen?

Berechne
f_0187
Anzeige auf dem Display:

BinomialCD(110,600,1/6) - BinomialCD(89,600,1/6)

0.7501249252

Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass bei 600 Würfen die Anzahl der 6-er, zwischen 90 und 110 liegen,
beträgt etwa 0,750...

Allgemein gilt für [ 0 === ][ k1 === k2 ][ === n ]:
f_0188
wobei k die Anzahl der Erfolge,
n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.


Intervallgrenzen werden berechnet

Statt der Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge eines Bernoulliversuchs in einem bestimmten Intervall,
kann man bei Vorgabe einer Intervallwahrscheinlichkeit die Intervallgrenzen k bestimmen.
Das wird bei Hypothesentests zur Bestimmung von Annahme- bzw. Ablehnungsbereich benötigt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n= 600 Würfen eines Würfels höchstens k Erfolge auftreten soll höchstens α ≤ 5% betragen.
Das bedeutet, für welches k ist die Forderung erfüllt.
f_0189

Berechne
f_0190
Anzeige auf dem Display:

InvBinomialCD(0.05,600,1/6) - 1

84

f_0191

Der linke untere 5%-Bereich gilt für [ 0 ... k ... 84 ] oder
die Wahrscheinlichkeit dafür, das höchstens k = 84 Erfolge auftreten ist kleiner als 5%.

Allgemein gilt: (Linksseitiger Hypothesentest)
f_0192
[ 0 === ≤ α === k ][ k + 1 === n ]
Das Ergebnis kann mit
f_0193
überprüft werden. Beispiel
Allgemein gilt:
Diese Rechnung ist für den linksseitigen Hypothesentest nötig.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n= 600 Würfen eines Würfels höchstens k Erfolge auftreten soll höchstens α ≤ 5% betragen.
Das bedeutet, für welches k ist die Forderung erfüllt.
f_0194
Diese Bedingung ermöglicht es die Anzahl der Erfolge zu finden, die sich in dem rechten oberen 5%-Bereich befinden.

Berechne
f_0195
Anzeige auf dem Display:

InvBinomialCD(0.95,600,1/6) + 1

116

f_0196

Allgemein gilt: (Rechtsseitiger Hypothesentest)
f_0197
[ 0 === k - 1 ][ k === ≤ α === n ]
Das Ergebnis kann mit
f_0198
überprüft werden. Beispiel
Diese Rechnung ist für den rechtsseitigen Hypothesentest nötig.

Bei n= 600 Würfen eines Würfels soll die Anzahl der Erfolge in einer symmetrischen 95%-Umgebung vom Erwartungswert liegen.
Zu bestimmen sind die Intervallgrenzen k1 und k2.
Das bedeutet, für welche Werte von k1 und k2 ist folgende Forderung erfüllt.
f_0199

Berechne
f_0200
Anzeige auf dem Display:

InvBinomialCD(0.025,600,1/6) - 1

81 = k1

f_0201

Berechne
f_0202
Anzeige auf dem Display:

InvBinomialCD(0.975,600,1/6) +1

119 = k2

f_0203

f_0204

Allgemein gilt: (Beidseitiger Hypothesentest)
f_0205
[ 0 === ≤ α/2 === k1 ][ k1 + 1====== k2 - 1 ][ k2 === ≤ α/2 === n ]
Das Ergebnis kann mit
f_0206
überprüft werden. Beispiel
Diese Rechnung ist für den beidseitigen Hypothesentest nötig.


Zusammenfassung Binomialverteilung


f_0182
[ 0 ====== ][ k ][ ====== n ]

f_0184
[ 0 ====== k ][ ====== n ]

f_0186
[ 0 ====== ][ k ====== n ]

f_0188
[ 0 === ][ k1 === k2 ][ === n ]

Linksseitiger Hypothesentest
f_0192
[ 0 === ≤ α === k ][ k + 1 === n ] Beispiel

Rechtsseitiger Hypothesentest
f_0197
[ 0 === k - 1 ][ k === ≤ α === n ] Beispiel

Beidseitiger Hypothesentest
f_0205
[ 0 === ≤ α/2 === k1 ][ k1 + 1====== k2 - 1 ][ k2 === ≤ α/2 === n ] Beispiel


Normalverteilung und Intervalle

Um mit der Normalverteilung zu rechnen, geht man ähnlich vor, wie bei der Binomialverteilung.
[MENU] 1 [OPTN] {STAT} {DIST} {NORM}
{Npd} berechnet einen einzelnen Wert.
{NcD} berechnet die kumulative Normalverteilung.
{InvN} ermittelt die Umkehrform der kumulativen Normalverteilung.

Es gilt:
μ : Erwartungswert der Zufallsvariablen k.
σ : Standardabweichung.
Falls die Standardabweichung größer 3 ist, kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung hinreichend genau approximiert werden.

Bei Intervallberechnungen ist zu berücksichtigen, das die Binomialverteilung für diskrete Werte, die Normalverteilung aber für kontinuierliche Werte bestimmt ist.

f_0207
[ 0 ====== ][ k ][ ====== n ]

f_0208
[ 0 ====== k ][ ====== n ]

f_0209
[ 0 ====== ][ k ====== n ]

f_0210
[ 0 === ][ k1 === k2 ][ === n ]

Linksseitiger Hypothesentest
f_0211
[ 0 === ≤ α === k ][ k + 1 === n ]

Rechtsseitiger Hypothesentest
f_0212
[ 0 === k - 1 ][ k === ≤ α === n ]

Beidseitiger Hypothesentest
f_0213
[ 0 === ≤ α/2 === k1 ][ k1 + 1====== k2 - 1 ][ k2 === ≤ α/2 === n ]

Beim beidseitigem Hypothesentest sollten die Grenzen des Ablehnungsbereichs symmetrisch zum Erwartungswert sein.