Casio fx-CG20
Lineare Gleichungssysteme I
zm_419
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Es gibt mehrere Verfahren, ein lineares Gleichungssystem mit dem GTR zu lösen.
An dieser Stelle soll das Matrixverfahren erläutert werden.

Bei Gleichungssystemen gibt es grundsätzlich drei Arten von Lösungen.

  1. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.
  2. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
  3. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und eindeutiger Lösung

Zunächst wandelt man das Gleichungssystem in die entsprechende Matrix um.

f_0009

Befehlssequenz der Eingabe.
Zur Veranschaulichung siehe auch Matrixeingabe und Diagonalisierung

Run-Matrix öffnen: [MENU] 1

Den-Matrixeditor öffnen: {MAT/VCT}

Dimension der Matrix bestimmen: [EXE] 3 [EXE] 4 [EXE]

Das Eingabefenster öffnen: [EXE]

Die Eingabesequenz obiger Matrix lautet:
f_0010
Abschluss der Eingabe mit [EXIT] [EXIT]

Um die Lösungsmenge des Gleichungssystems zu erhalten, ist die Matrix zu diagonalisieren.

Diagonalisieren der Matrix A [OPTN] {MAT/VCT}

[F6] {Rref}

[F6] [F6] [F6] {MAT}

A[A] [EXE]

Aus der Diagonalmatrix lässt sich die Lösungsmenge des Gleichungssystems in der 4. Spalte ablesen.
Dieses Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.

f_0011


Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und keiner Lösung

Das Gleichungssystem lautet:

f_0012

Für die Eingabe wird davon ausgegangen, dass man sich bereits im Menü Run-Matrix befindet.

Den-Matrixeditor öffnen: {MAT/VCT}

Dimension der Matrix bestimmen: [EXE] 3 [EXE] 4 [EXE]

Das Eingabefenster öffnen: [EXE]

Die Eingabesequenz obiger Matrix lautet:
f_0013
Abschluss der Eingabe mit [EXIT] [EXIT]

Diagonalisieren der Matrix A [OPTN] {MAT/VCT}

[F6] {Rref}

[F6] [F6] [F6] {MAT}

A[A] [EXE]

f_0014

Die letzte Zeile der Matrix gehört zur Gleichung
f_0015
Dies ist ein Widerspruch, der aus der Annahme der Lösbarkeit entstanden ist.
Das Gleichungssystem ist nicht lösbar.

Merke
Falls also die Matrixumformung dazu führt, das dabei eine Zeile entsteht, in der sich links nur Nullen befinden und rechts eine von Null verschiedene Zahl u, dann lautet die Gleichung 0 = u.
Dies ist ein Widerspruch gegen die Annahme der Lösbarkeit des Gleichungssystems.
Es gibt also keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer.

Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und unendlich vielen Lösungen

Das Gleichungssystem lautet:

f_0016

Den-Matrixeditor öffnen: {MAT/VCT}

Dimension der Matrix bestimmen: [EXE] 3 [EXE] 4 [EXE]

Das Eingabefenster öffnen: [EXE]

Die Eingabesequenz obiger Matrix lautet:
f_0017
Abschluss der Eingabe mit [EXIT] [EXIT]

Diagonalisieren der Matrix A [OPTN] {MAT/VCT}

[F6] {Rref}

[F6] [F6] [F6] {MAT}

A[A] [EXE]

f_0018: Matrix eines linearen Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen

Da die 3. Zeile nur Nullen enthält, ist eine Gleichung überflüssig, man wählt x3 = t.
Danach werden die 1. und 2. Zeile nach x1 und x2 aufgelöst.

f_0019

Merke
Ergibt eine Matrixumformung eine Zeile mit lauter Nullen, dann ist die zugehörige Gleichung entbehrlich.
Daher kann man eine Variable frei wählen.
Die Lösungsmenge hat dann unendlich viele Lösungen.