Casio fx-CG20
Das Menü Gleichung
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Mit dem Gleichungsmenü lassen sich folgende Gleichungen lösen:

  1. Lineare Gleichungssysteme mit 2 bis 6 Unbekannte {SIMUL}.
  2. Polynomgleichungen 2-ten bis 6-ten Grades {POLY}.
  3. Allgemeine Nullstellengleichungen {SOLVER}.

Gleichungssysteme

Folgendes lineares Gleichungssystem ist zu lösen.

f_0020
s_0009: Casio fx-CG20 Gleichungsmenü

Durch Eingabe von [ALPHA] [A] gelangt man in das Menü Gleichung.

Dabei ist es unabhängig, welches Menü vorher selektiert war.

Betätigung der Taste [EXE] öffnet dagegen immer das gerade selektierte Menü.
s_0010

Die Befehlseingabe

{SIMUL}

öffnet das Fenster zur Auswahl der Anzahl der Unbekannten.
s_0011

Da es sich um drei Gleichungen mit drei Unbekannte handelt,

wird {3} gewählt.

Es erscheint das Eingabefenster für die Koeffizienten.
s_0012: Eingabefenster für Gleichungskoeffizienten

Die Eingabesequenz für die Koeffizienten lautet:

f_0062
s_0013

Die Befehlseingabe

{SOLVE}

öffnet das Fenster mit den Lösungen.
s_0014

Die eingegebene Gleichung ist eindeutig lösbar.
f_0021

Das gleiche Lösungsverfahren wird nun für das Gleichungssystem

f_0022
verwendet.

Durch betätigen von [REPEAT] (mit der F1-Taste) gelangt man zu den vorher eingegebenen Daten.
Diese werden mit den Daten der neuen Gleichung überschrieben.

Die Befehlseingabe

{SOLVE}

öffnet das Fenster mit den Lösungen.
s_0015

Das bedeutet, das Gleichungssystem ist nicht lösbar.

f_0023

Die nächste Gleichungssystem lautet

f_0024

Nach Eingabe der Koeffizienten wird das Lösungsdisplay aufgerufen.

Die Befehlseingabe

{SOLVE}

öffnet das Fenster mit den Lösungen.
s_0016

Das bedeutet, die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
Man wählt für z eine belibige Zahl.
Auf dem Display dargestellt durch Z = Z.
Daraus ergeben sich die Lösungen für x und y zu X = 6 + Z und Y = -7 -2Z.

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Wie diese Lösungen zustande kommen, versteht man durch das Matrixlöseverfahren.


Polynomgleichungen

Die Anzahl der reellen Lösungen von Polynomgleichungen sind unter anderem von ihrem Grad abhängig.
Quadratische Gleichungen haben entweder zwei, eine oder keine Lösung. Falls nur eine Lösung auftritt, handelt es sich um eine doppelte Lösung.
Polynome 3. Grades haben entweder drei, zwei oder nur eine Lösung. Falls zwei Lösungen auftreten, ist eine davon doppelt.
Polynome 4. Grades haben entweder vier, drei, zwei oder keine Lösung. Falls drei Lösungen auftreten, ist davon eine doppelt.

Bei zwei Lösungen kann es sich jeweils um eine doppelte oder nur um eine einfache Lösung handeln.
Nimmt man zu den reellen Lösungen inklusive der doppelten die komplexen hinzu, dann ist die Anzahl der Lösungen insgesamt so groß, wie der Grad der Polynomgleichung.
Es macht Sinn, den GTR so einzustellen, dass auch die komplexen Lösungen angezeigt werden. Je nach Wunsch kann der GTR auch jederzeit wieder auf reelle Lösungen eingestellt werden.

Änderungen der Voreinstellung {Complex Mode}

Die Befehlseingabe aus dem Hauptmenü [1] S[MENU]
öffnet ein Fenster für diverse Voreinstellungen.
Mit dem Cursor wird {Complex Mode : a + bi} aufgesucht.
Die Befehlseingabe{a + bi} stellt den GTR auf komplexe Anzeige ein.
Hier lässt sich auch jederzeit die Einstellung wieder ändern.
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Die quadratische Gleichung x2 - x - 2 = 0 soll gelöst werden.

Die Befehlseingabe

{POLY} im Menü Gleichung

öffnet das Fenster zur Auswahl des Grades der Polynomgleichung.
s_0018

Da es sich um eine quadratische Gleichung (Polynomgleichung zweiten Grades) handelt, wird

{2} gewählt.

Es erscheint das Eingabefenster für die Koeffizienten.
s_0019

Die Eingabesequenz für die Koeffizienten lautet:

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s_0020

Die Befehlseingabe

{SOLVE}

öffnet das Fenster mit den Lösungen.
s_0021

Die quadratische Gleichung x2 - x - 2 = 0 hat genau zwei reelle Lösungen L = { -1 ; 2 }

Die quadratische Gleichung x2 - 4x + 4 = 0 soll gelöst werden.

Durch betätigen von [REPEAT] (mit der F1-Taste) gelangt man zu den vorher eingegebenen Daten.
Diese werden mit den Daten der neuen Gleichung überschrieben.

Die Befehlseingabe

{SOLVE}

öffnet das Fenster mit den Lösungen.
s_0022

Die quadratische Gleichung
x2 - 4x + 4 = 0 hat genau eine doppelte reelle Lösung L = { -2 }.
Das es sich um eine doppelte Lösung handelt, wird im Lösungsdisplay durch x2 angegeben.

Die quadratische Gleichung x2 - 4x + 6 = 0 soll gelöst werden.

Die Befehlseingabe

{SOLVE}

öffnet das Fenster mit den Lösungen.
s_0023

Die quadratische Gleichung x2 - 4x + 6 = 0 hat keine reelle Lösung L = { }.
Das wird im Lösungsdisplay durch die komplexen Zahlen wie z.B. -2+1.4142i dargestellt.

Für die folgenden Polynomgleichungen wird das jeweilige Lösungsfenster abgebildet.
Für die Eingabe ist zu beachten, dass zuvor der Grad der Gleichung eingegeben werden muss.

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s_0024

Es gibt drei reelle Lösungen.
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f_0027

s_0025

Es gibt zwei reelle Lösungen,
eine davon ( x = 2 ) ist doppelt.
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f_0030

s_0026

Es gibt nur eine reelle Lösung.
f_0031
f_0032

s_0027

Es gibt vier reelle Lösungen.
f_0033

f_0034

s_0028

Es gibt drei reelle Lösungen, eine davon ist doppelt.
f_0035
f_0036

s_0029

Es gibt zwei reelle Lösungen.
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f_0038

s_0030

Es gibt zwei jeweils doppelte reelle Lösungen.
f_0039
f_0040

s_0031

Es gibt keine reellle Lösung.
f_0041

Allgemeine Nullstellengleichungen

Der GTR startet mit dem Newton-Verfahren einen Algorithmus für Näherungslösungen für eine gekennzeichnete Variable. Das Verfahren ist vielseitig einsetzbar. Einige Beispiele sollen das verdeutlichen.

Die Exponentialgleichung ex-2 - 3 = 0 soll gelöst werden.

Die Befehlseingabe

{SOLVER} im Menü Gleichung

öffnet das Fenster für die Gleichungseingabe
s_0032

Eingabesequenz für die Gleichung:

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s_0033

Die Befehlseingabe

{SOLVE}

löst die Gleichung ex-2 - 3 = 0
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Durch betätigen von [REPEAT] (mit der F1-Taste) gelangt man zu den vorher eingegebenen Daten.
Diese kann man überschreiben oder auch mit {DELETE} und [F1] löschen.

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Eingabesequenz für die Gleichung:

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Cursor zu den Integralgrenzen bewegen und die Were 0 und 3 eingeben.
Abschluss mit [EXE].
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Cursor in die Zeile bewegen in der A steht. s_0036

Die Befehlseingabe

{SOLVE}

berechnet das Integral.

Der Wert 9 ist in der Variablen A gespeichert.
s_0037

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f_0046
Cursor zur unteren Grenze bewegen und 0 eingeben.
Cursor zur oberen Grenze bewegen und A [A] eingeben.
Cursor hinter dx bewegen und S [=] 9 eingeben.
Abschluss mit [EXE]
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Cursor auf die Zeile in der A steht bewegen.

Abschluss mit [EXE]

Die obere Grenze des Integrals ist A = 3.
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Eine komplexe Aufgabe

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach U = 2 Sekunden hört man seinen Aufschlag.
Wie tief ist der Brunnen, wenn die Schallgeschwindigkeit V = 340 m/s zu berücksichtigen ist.
Die Fallbeschleunigung wird mit G = 9,81 m/s2 angenommen.
Die Mathematisierung des Problems führt auf zwei Gleichungen.

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Zuerst werden die Variablen V, G, und U im Run-Matrix Menü belegt:

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Im Gleichungsmenü wird die erste (quadratische) Gleichung eingegeben.

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Cursor in die Zeile bewegen, in der T steht.

{SOLVE} löst die Gleichung für T (T = 1.945...).

Zurück zum Menü Run-Matrix um dort die Gleichung für H einzugeben.

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Ergebnis:
Die Fallzeit beträgt etwa 1.945 s, der Brunnen ist etwa 18,563 m tief.

Neue Rechnung für U = 3.

Im Run-Matrix Menü die Zahl 3 in die Variable U einspeichern.
Im Gleichungsmenü den Cursor auf T bewegen {SOLVE} (T = 2.880...)
Im Run-Matrix Menü den Cursor auf H setzen [EXE] (H = 40. 692..).

Mit dieser Methode lassen sich für mehrere Zeitwerte die Brunnentiefe berechnen.